Modelowanie zadań tekstowych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się wykonywać najważniejsze przejście w zadaniu tekstowym: od zdań napisanych po polsku do zapisu matematycznego. Model może być równaniem, funkcją, nierównością, tabelą albo rysunkiem.

Schemat przejścia od zmiennej przez zależność do odpowiedzi.

Plan tej lekcji

Najpierw wybierzesz niewiadomą i określisz, co oznacza.

Potem zapiszesz pozostałe wielkości za pomocą tej niewiadomej.

Następnie zbudujesz równanie albo funkcję.

Po rozwiązaniu wrócisz do treści i zinterpretujesz wynik.

Na start

Model matematyczny ma opisywać sytuację, a nie tylko zawierać liczby z treści.

Każdy symbol w modelu powinien mieć konkretne znaczenie.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie zamieniać opis sytuacji na zmienną, równanie, nierówność, funkcję albo prosty model geometryczny.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw nazwij zmienną

Suma dwóch liczb wynosi czterdzieści dwa, a druga liczba jest o osiem większa od pierwszej. Obliczymy obie liczby. Dobra zmienna upraszcza całe zadanie: warto oznaczyć przez $x$ wielkość, o którą pytają, albo tę, od której łatwo opisać pozostałe.

Pierwszą liczbę oznaczamy przez $x$ .

Druga jest o $8$ większa, więc ma postać $x+8$ .

$x+(x+8)=42$

Stąd $x=17$ , a druga liczba to $25$ .

Zapamiętaj

Zmienna powinna mieć opis, np. „ $x$ — pierwsza liczba”.

02WYJAŚNIENIE

Jedna zmienna opisuje kilka wielkości

Prostokąt ma obwód trzydzieści dwa, a dłuższy bok jest o cztery dłuższy od krótszego. Obliczymy długości boków, opisując obie za pomocą jednej zmiennej.

Prostokąt z bokami x i x plus 4 oraz obwodem 32.

Krótszy bok oznaczamy przez $x$ , dłuższy przez $x+4$ .

$2x+2(x+4)=32$

Z równania dostajemy $x=6$ , więc dłuższy bok ma $10\text{ cm}$ .

03WYJAŚNIENIE

Model z równaniem

Cztery jednakowe zeszyty i trzy długopisy po pięć złotych kosztują razem trzydzieści dziewięć złotych. Obliczymy cenę jednego zeszytu za pomocą równania.

Cena jednego zeszytu to $x$ .

Cztery zeszyty kosztują $4x$ , a trzy długopisy po $5\text{ zł}$ kosztują $15\text{ zł}$ .

$4x+15=39$

Stąd $x=6\text{ zł}$ .

Zapamiętaj

Równanie powinno opisywać jedno konkretne zdanie z treści.

04WYJAŚNIENIE

Model z procentami

Po obniżce o dwadzieścia procent produkt kosztuje dwieście czterdzieści złotych. Obliczymy jego cenę początkową za pomocą mnożnika. Podwyżka o $p\%$ oznacza mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$ , a obniżka przez $1-\frac{p}{100}$ .

$x\left(1+\frac{p}{100}\right)$

$x\left(1-\frac{p}{100}\right)$

Po obniżce o $20\%$ zostaje $80\%=0{,}8$ ceny.

$0{,}8x=240$

Cena początkowa wynosi $300\text{ zł}$ .

Wskazówka

Jeśli znasz cenę po obniżce, nie dodawaj do niej po prostu $20\%$ . Procent był liczony od ceny początkowej.

05WYJAŚNIENIE

Model drogi, prędkości i czasu

Rowerzysta przejechał dwanaście kilometrów z prędkością dwunastu kilometrów na godzinę, a potem osiemnaście kilometrów z prędkością osiemnastu kilometrów na godzinę. Obliczymy łączny czas jazdy. Drogę, prędkość i czas łączy zależność $s=vt$ . Model może wymagać zapisania dwóch odcinków drogi albo dwóch różnych prędkości.

$s=vt$

$t_1=\frac{12}{12}=1\text{ h}$

$t_2=\frac{18}{18}=1\text{ h}$

$t=t_1+t_2=2\text{ h}$

Wskazówka

Przy różnych prędkościach nie bierz automatycznie średniej arytmetycznej prędkości.

06WYJAŚNIENIE

Czasem model jest funkcją

Spośród prostokątów o obwodzie czterdzieści centymetrów chcemy wybrać ten o największym polu. Najpierw opisujemy pole jako funkcję długości jednego boku.

Prostokąt z bokami x i 20 minus x oraz wzorem pola.

Dla obwodu $40\text{ cm}$ mamy $x+y=20$ , więc $y=20-x$ .

$P(x)=x(20-x)$

$P(x)=-x^2+20x$

Zapamiętaj

Pole nie jest jedną stałą wartością. Zależy od wyboru długości $x$ .

07WYJAŚNIENIE

Model ma własną dziedzinę

Dla prostokąta o obwodzie 40 cm zapisaliśmy boki jako x i 20-x. W zadaniu tekstowym nie każda wartość algebraicznie dopuszczalna ma sens. Jeśli $x$ oznacza długość, liczbę osób albo liczbę produktów, pojawiają się dodatkowe ograniczenia.

Dla prostokąta z bokami $x$ i $20-x$ oba boki muszą być dodatnie.

$x>0$

$20-x>0$

$0<x<20$

Zapamiętaj

Dziedzina modelu wynika z treści, nie tylko ze wzoru.

08WYJAŚNIENIE

Po rozwiązaniu wróć do treści

Na wycieczce było osiemnaścioro dorosłych, a dzieci o siedmioro więcej. Ile było wszystkich uczestników wycieczki? Pytanie dotyczy liczby wszystkich osób, więc wynik równania trzeba jeszcze zinterpretować i uzupełnić.

Jeśli $x=18$ oznacza liczbę dorosłych, a dzieci było o $7$ więcej, to dzieci było $25$ .

$18+25=43$

Odpowiedzią jest liczba wszystkich osób, czyli $43$ , nie samo $18$ .

Wskazówka

Nie przepisuj automatycznie wyniku równania jako odpowiedzi.

09WYJAŚNIENIE

Schemat budowania modelu

Dobry model powstaje z kilku małych decyzji. Jeśli któraś jest niejasna, wróć do treści i nazwij wielkości słownie.

Określ, co oznacza $x$ .

Zapisz pozostałe wielkości za pomocą $x$ .

Znajdź zdanie w treści, które łączy te wielkości.

Zbuduj równanie, nierówność albo funkcję.

Wyznacz dziedzinę wynikającą z sytuacji.

Wykonaj rachunki i zinterpretuj wynik.

Wskazówka

Gdy brakuje równania, zapisz słownie: „pierwsza wielkość + druga wielkość = całość”.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Suma dwóch liczb wynosi $30$ , a druga jest o $6$ większa od pierwszej. Jeśli pierwszą oznaczymy przez $x$ , poprawne równanie to:

$x+6=30$

$x+(x+6)=30$

$6x=30$

$x(x+6)=30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x+(x+6)=30$

Pierwsza liczba to $x$ , druga $x+6$ , a ich suma wynosi $30$ .

PYTANIE 02

Zadania utrwalające

Po obniżce o $15\%$ cena $x$ zmienia się na:

$0{,}15x$

$0{,}85x$

$1{,}15x$

$x-15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$0{,}85x$

Po obniżce zostaje $85\%$ ceny początkowej, czyli $0{,}85x$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające

Prostokąt ma obwód $24$ . Jeden bok ma długość $x$ . Drugi bok można zapisać jako:

$24-x$

$12-x$

$6-x$

$2x-24$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$12-x$

$2x+2y=24$ , więc $x+y=12$ i $y=12-x$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające

Jeśli $x$ oznacza liczbę sprzedanych całych biletów, która wartość nie może być wynikiem modelu?

$0$

$7$

$12$

$7{,}5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$7{,}5$

Liczba sprzedanych biletów musi być liczbą całkowitą.

NA KONIEC

Podsumowanie

Model matematyczny tłumaczy treść zadania na symbole i zależności. Najpierw określ znaczenie zmiennej, potem zbuduj równanie, funkcję albo nierówność i wróć z wynikiem do języka zadania.

Zapamiętaj

Dziedzina modelu wynika z praktycznego znaczenia zmiennej.

Wynik zmiennej nie zawsze jest jeszcze odpowiedzią na pytanie.