Średnia ważona - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się liczyć średnią, w której nie każda wartość znaczy tyle samo. Waga będzie mówiła, ile razy dana wartość ma być uwzględniona albo jak duży ma udział w wyniku.

Na start

waga zwiększa wpływ wartości na średnią

liczebności w tabeli można traktować jak wagi

wagi procentowe muszą razem tworzyć całość

Po tej lekcji:

zrozumiesz, czym jest waga
obliczysz średnią ważoną z wag i liczebności
użyjesz wag procentowych

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Waga działa jak powtórzenie

Jeśli ocena $3$ ma wagę $3$ , to w średniej liczy się tak, jakby pojawiła się trzy razy.

02WYJAŚNIENIE

Wzór na średnią ważoną

Każdą wartość mnożymy przez jej wagę, a na końcu dzielimy przez sumę wag.

Zapamiętaj

$\overline{x}_{w}=\frac{x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+\ldots+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots+w_{n}}$

Wskazówka

W mianowniku jest suma wag, nie liczba różnych wartości.

03WYJAŚNIENIE

Oceny z różną wagą

Ocena $5$ ma wagę $1$ , a ocena $3$ ma wagę $3$ .

$\overline{x}_w=\frac{5\cdot1+3\cdot3}{1+3}$

$\overline{x}_w=\frac{14}{4}=3{,}5$

04WYJAŚNIENIE

Liczebności też są wagami

W tabeli liczba osób mówi, ile razy dany wynik pojawia się w zestawie. Dlatego kolumna liczebności pełni rolę wag.

Tabela wartości i liczebności do średniej ważonej.

$\overline{x}_w=\frac{36}{10}=3{,}6$

05WYJAŚNIENIE

Typowa pułapka

Dla wartości $10$ z wagą $2$ oraz $20$ z wagą $3$ nie dzielimy przez $2$ , bo są tylko dwie różne wartości. Dzielimy przez sumę wag.

$\frac{10\cdot2+20\cdot3}{2+3}=16$

06WYJAŚNIENIE

Wagi procentowe

Jeśli sprawdzian ma wynik $80$ i wagę $40\%$ , a egzamin ma wynik $70$ i wagę $60\%$ , to liczymy udział obu części w całości. Oba wyniki są podane w tej samej skali. Dzielnikiem jest suma wag $0{,}4+0{,}6=1$ , dlatego nie widać osobnego dzielenia.

$0{,}4\cdot80+0{,}6\cdot70=74$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Oceny z wagami

Jaka jest średnia ważona?

$4{,}25$

$4{,}75$

$5$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4{,}75$

$\frac{4\cdot1+5\cdot3}{1+3}=\frac{19}{4}=4{,}75$ .

PYTANIE 02

Liczebności

Jaka jest średnia?

$4$

$5$

$6$

$10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$4$

$\frac{2\cdot4+8\cdot2}{4+2}=\frac{24}{6}=4$ .

PYTANIE 03

Wagi procentowe

Jaki jest wynik końcowy?

$60$

$70$

$80$

$85$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$70$

$0{,}25\cdot100+0{,}75\cdot60=70$ .

PYTANIE 04

Suma wag

Jaka jest średnia ważona?

$6$

$8$

$9$

$10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

$\frac{6\cdot2+12\cdot1}{2+1}=\frac{24}{3}=8$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy z lekcji

Średnia ważona uwzględnia to, że niektóre wartości mają większy wpływ na wynik. Każdą wartość mnożymy przez jej wagę, sumujemy te iloczyny i dzielimy przez sumę wag. Liczebności w tabeli działają jak wagi, a wagi procentowe opisują udziały w całości.