Średnia arytmetyczna - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Zobaczysz średnią jako wyrównanie danych do jednego poziomu. Nauczysz się liczyć średnią, korzystać z niej do wyznaczania sumy i brakującej liczby oraz oceniać, kiedy jedna duża wartość mocno zmienia wynik.

Na start

średnia to suma danych podzielona przez liczbę danych

ze średniej można odzyskać sumę

wartość skrajna potrafi przesunąć średnią

Po tej lekcji:

obliczysz średnią arytmetyczną
odtworzysz sumę danych ze średniej
znajdziesz brakującą wartość i rozpoznasz wpływ wartości skrajnej

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Średnia jako wyrównanie

Średnia odpowiada pytaniu: jaka byłaby każda wartość, gdyby tę samą sumę rozdzielić równo między wszystkie miejsca?

Różne słupki wyrównane do jednego poziomu średniej.

02WYJAŚNIENIE

Wzór na średnią

Dla danych $x_1,x_2,\ldots,x_n$ średnia arytmetyczna ma postać:

licznik to suma wszystkich danych

mianownik to liczba danych

Zapamiętaj

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

03WYJAŚNIENIE

Klasyczny przykład

Obliczamy średnią liczb $4,6,7,8,10$ .

$4+6+7+8+10=35$

$\overline{x}=\frac{35}{5}=7$

Zapamiętaj

Wynik mówi, że po równym rozdzieleniu suma dałaby każdej wartości poziom $7$ .

04WYJAŚNIENIE

Ze średniej do sumy

Jeśli znamy średnią i liczbę danych, to możemy odtworzyć ich sumę.

$\overline{x}=\frac{S}{n}$

$S=n\overline{x}$

Jeśli średnia $5$ wartości wynosi $12$ , to suma wynosi $5\cdot12=60$ .

05WYJAŚNIENIE

Brakująca wartość

Średnia liczb $5,7,9,x$ wynosi $8$ . Najpierw obliczamy sumę, którą muszą mieć cztery dane.

$S=4\cdot8=32$

$5+7+9+x=32$

$21+x=32$

$x=11$

06WYJAŚNIENIE

Średnia reaguje na skrajności

Dane $4,5,5,6,5$ mają średnią $5$ . Po zamianie jednej z wartości 5 na $30$ średnia rośnie do $10$ , mimo że większość danych nadal leży blisko $5$ .

Wskazówka

Gdy w zestawie jest jedna bardzo duża albo bardzo mała wartość, sama średnia może dawać mylący obraz typowego wyniku.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Oblicz średnią

Jaka jest średnia arytmetyczna tych danych?

$6$

$7$

$8$

$28$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7$

$\frac{3+5+8+12}{4}=\frac{28}{4}=7$ .

PYTANIE 02

Suma ze średniej

Jaka jest suma tych liczb?

$15$

$45$

$54$

$60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$54$

Suma to $6\cdot9=54$ .

PYTANIE 03

Brakująca liczba

Ile wynosi $x$ ?

$8$

$10$

$12$

$14$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$12$

Suma czterech danych musi wynosić $4\cdot8=32$ . Ponieważ $4+6+10=20$ , dostajemy $x=12$ .

PYTANIE 04

Nowa średnia

Jaka jest nowa średnia?

$4$

$5$

$6$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5$

Nowa suma to $2+4+6+8=20$ , a danych jest $4$ . Średnia wynosi $5$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy z lekcji

Średnia arytmetyczna to suma danych podzielona przez liczbę danych. Jeśli znasz średnią i liczbę danych, możesz obliczyć ich sumę. Przy brakującej wartości najpierw ustal wymaganą sumę całego zestawu. Pamiętaj, że pojedyncza wartość skrajna może mocno przesunąć średnią.