Równania z ułamkami - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się pozbywać ułamków z równań. Zamiast pilnować mianowników w każdym kroku, pomnożysz całe równanie przez wspólny mianownik.

Na start

wybór wspólnego mianownika

mnożenie każdego składnika

licznik wielowyrazowy jako całość

Po tej lekcji:

usuniesz mianowniki przez wspólny mianownik
pomnożysz każdy składnik równania
rozwiążesz równania z ułamkami po obu stronach

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Równanie z jednym ułamkiem

Ułamki ze stałymi, niezerowymi mianownikami nie przeszkadzają w rozwiązywaniu równania liniowego. W przykładach tej lekcji niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, a mianowniki usuniemy, mnożąc obie strony przez tę samą liczbę.

$\frac{x}{3}=5$

mnożymy obie strony przez $3$

$x=15$

sprawdzenie: $\frac{15}{3}=5$

Zapamiętaj

Mnożenie przez mianownik usuwa ułamek, jeśli robisz je po obu stronach.

02WYJAŚNIENIE

Wspólny mianownik usuwa kilka ułamków

Jeśli w równaniu występuje kilka mianowników, wybieramy ich wspólną wielokrotność. Najwygodniejsza jest najmniejsza wspólna wielokrotność.

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$

wspólny mianownik: $6$

$6\cdot\frac{x}{2}+6\cdot\frac{x}{3}=6\cdot5$

$3x+2x=30$

03WYJAŚNIENIE

Przykład z dwoma mianownikami

Przy mnożeniu przez wspólny mianownik każdy składnik musi zostać pomnożony, także liczba bez ułamka.

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$

$3x+2x=30$

$5x=30$

$x=6$

Wskazówka

Nie zostawiaj liczby $5$ bez zmiany. Skoro mnożysz równanie przez $6$ , mnożysz całą lewą i całą prawą stronę.

04WYJAŚNIENIE

Licznik jako całość

Jeśli w liczniku jest wyrażenie, traktujemy je jak całość. Kreska ułamkowa działa jak nawias wokół licznika.

Kreska ułamkowa obejmuje cały licznik x plus 4.

$\frac{x+4}{3}=5$

mnożymy przez $3$

$x+4=15$

$x=11$

Zapamiętaj

Po skróceniu zostaje cały licznik, nie tylko pierwszy składnik.

05WYJAŚNIENIE

Wspólny mianownik i nawiasy

Po usunięciu mianowników często zostaje równanie z nawiasem albo wyrazami podobnymi.

$\frac{x+2}{4}+\frac{x}{2}=5$

mnożymy przez $4$

$x+2+2x=20$

$3x+2=20$

$x=6$

Wskazówka

Nie zgub składnika $+2$ z licznika.

06WYJAŚNIENIE

Ułamki po obu stronach

Jeśli ułamki są po obu stronach, metoda jest taka sama. Wspólnym mianownikiem mnożymy każdy składnik po lewej i po prawej stronie.

Usuwanie mianowników w równaniu z ułamkami po obu stronach.

$\frac{x-1}{2}=\frac{x+5}{4}$

mnożymy przez $4$

$2(x-1)=x+5$

$2x-2=x+5$

$x=7$

07WYJAŚNIENIE

Liczba całkowita też się mnoży

Liczba bez mianownika też jest składnikiem równania. Po pomnożeniu przez wspólny mianownik ona również się zmienia.

$\frac{x}{5}+2=\frac{3x}{10}$

mnożymy przez $10$

$2x+20=3x$

$x=20$

Wskazówka

Najczęstszy błąd to zostawienie liczby całkowitej bez pomnożenia.

08WYJAŚNIENIE

Sprawdzenie wyniku z ułamkami

W równaniach z ułamkami szczególnie warto sprawdzić wynik, bo łatwo pomylić wspólny mianownik albo zgubić nawias.

dla $x=6$ :

$\frac{6+2}{4}=2$

$\frac{6}{2}=3$

$2+3=5$

Zapamiętaj

Jeśli sprawdzenie nie wychodzi, wróć do kroku mnożenia przez wspólny mianownik.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jeden ułamek

Rozwiązaniem równania $\frac{x}{4}=3$ jest:

$x=7$

$x=12$

$x=\frac{3}{4}$

$x=-12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=12$

Mnożymy obie strony przez $4$ : $x=12$ .

PYTANIE 02

Dwa mianowniki

Rozwiązaniem równania $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=6$ jest:

$x=4$

$x=6$

$x=8$

$x=12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=8$

Mnożymy przez $4$ : $2x+x=24$ , więc $3x=24$ i $x=8$ .

PYTANIE 03

Cały licznik

Po pomnożeniu równania $\frac{x+3}{5}=2$ przez $5$ otrzymujemy:

$x+3=10$

$x=10$

$5x+3=10$

$x+15=2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x+3=10$

Kreska ułamkowa obejmuje cały licznik, więc zostaje $x+3$ , a prawa strona daje $10$ .

PYTANIE 04

Ułamki po obu stronach

Rozwiązaniem równania $\frac{x-1}{3}=\frac{x+5}{6}$ jest:

$x=1$

$x=3$

$x=7$

$x=11$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=7$

Mnożymy przez $6$ : $2(x-1)=x+5$ , więc $x=7$ .

PYTANIE 05

Liczba całkowita

W równaniu $\frac{x}{3}+4=10$ , po pomnożeniu przez $3$ , poprawny zapis to:

$x+4=30$

$x+12=30$

$x+12=10$

$3x+4=30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x+12=30$

Każdy składnik mnożymy przez $3$ : $x+12=30$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Równania z ułamkami najwygodniej rozwiązywać przez usunięcie mianowników.

Zapamiętaj

znajdź wspólny mianownik

pomnóż każdy składnik równania

skróć ułamki

rozwiąż zwykłe równanie liniowe

uważaj na liczniki wielowyrazowe i liczby całkowite