Równania sprzeczne i tożsamościowe - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się interpretować sytuacje, w których podczas rozwiązywania równania znika $x$ . Wtedy patrzymy, czy została prawda, czy fałsz.

Na start

zwykłe równanie daje jedno rozwiązanie

$0=7$ oznacza brak rozwiązań

$0=0$ oznacza wszystkie liczby rzeczywiste

Po tej lekcji:

rozpoznasz równanie sprzeczne
rozpoznasz równanie tożsamościowe
odróżnisz jedno rozwiązanie od braku i nieskończenie wielu rozwiązań

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Zwykłe równanie daje jedno rozwiązanie

Jeśli po przekształceniach zostaje $ax=b$ , gdzie $a\ne0$ , można podzielić przez $a$ i dostać jedną liczbę.

$2x+1=9$

$2x=8$

$x=4$

Zapamiętaj

Jedno rozwiązanie pojawia się wtedy, gdy zostaje niezerowa liczba razy $x$ .

02WYJAŚNIENIE

Równanie sprzeczne prowadzi do fałszu

Równanie sprzeczne nie ma żadnego rozwiązania. Po uproszczeniu dostajemy fałszywe zdanie, np. $3=8$ .

Przechylona waga z liczbami 3 i 8 pokazująca fałsz.

$2x+3=2x+8$

$3=8$

fałsz, więc brak rozwiązań

$\emptyset$

03WYJAŚNIENIE

Równanie tożsamościowe prowadzi do prawdy

Równanie tożsamościowe jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą. Po uproszczeniu dostajemy prawdziwe zdanie, np. $6=6$ .

Waga w równowadze z liczbą 6 po obu stronach i podpisem R.

$3x+6=3(x+2)$

$3x+6=3x+6$

$6=6$

$x\in\mathbb{R}$

04WYJAŚNIENIE

Trzy możliwe zakończenia

Po przekształceniach równania liniowego mogą wystąpić trzy sytuacje. Każda ma inną odpowiedź.

Trzy karty: jedno rozwiązanie, brak rozwiązań i wszystkie liczby rzeczywiste.

$2x=10\Rightarrow x=5$

$0=7\Rightarrow \emptyset$

$0=0\Rightarrow x\in\mathbb{R}$

Zapamiętaj

Gdy znika $x$ , sprawdź, czy została prawda czy fałsz.

05WYJAŚNIENIE

Sprzeczność po nawiasach

Równanie sprzeczne może wyglądać normalnie. Sprzeczność wychodzi dopiero po uproszczeniu.

$2(x+1)=2x+5$

$2x+2=2x+5$

$2=5$

fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań

Wskazówka

Po otrzymaniu $2=5$ nie próbuj dzielić przez $x$ . Wniosek to brak rozwiązań.

06WYJAŚNIENIE

Tożsamość po redukcji

Równanie tożsamościowe po uproszczeniu ma po obu stronach to samo wyrażenie albo tę samą liczbę.

$4(x-1)+2=4x-2$

$4x-4+2=4x-2$

$4x-2=4x-2$

$-2=-2$

$x\in\mathbb{R}$

Wskazówka

Jeśli po uproszczeniu obie strony wyglądają identycznie, najczęściej masz równanie tożsamościowe.

07WYJAŚNIENIE

Jak zapisać odpowiedź?

Dla równania sprzecznego i tożsamościowego nie wpisujemy jednej liczby.

jedno rozwiązanie: $x=3$

brak rozwiązań: $\emptyset$

wszystkie liczby rzeczywiste: $x\in\mathbb{R}$

Wskazówka

$0=0$ nie oznacza $x=0$ . Oznacza brak ograniczenia na $x$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Sprzeczne czy nie?

Równanie $3x+2=3x+5$ jest:

równaniem z rozwiązaniem $x=1$

równaniem sprzecznym

równaniem tożsamościowym

równaniem z rozwiązaniem $x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

równaniem sprzecznym

Po odjęciu $3x$ dostajemy $2=5$ , czyli fałsz.

PYTANIE 02

Tożsamościowe

Równanie $2(x+4)=2x+8$ ma:

jedno rozwiązanie

dwa rozwiązania

brak rozwiązań

nieskończenie wiele rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

nieskończenie wiele rozwiązań

Po wymnożeniu mamy $2x+8=2x+8$ , więc każda liczba spełnia równanie.

PYTANIE 03

Fałsz po redukcji

Jeśli po przekształceniu równania otrzymujemy $0=9$ , to:

$x=0$

$x=9$

równanie nie ma rozwiązań

każda liczba jest rozwiązaniem

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

równanie nie ma rozwiązań

$0=9$ jest fałszywe, więc równanie jest sprzeczne.

PYTANIE 04

Prawda po redukcji

Jeśli po przekształceniu równania otrzymujemy $5=5$ , to:

$x=5$

$x=0$

równanie nie ma rozwiązań

$x\in\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$x\in\mathbb{R}$

$5=5$ jest zawsze prawdziwe, więc równanie spełnia każda liczba rzeczywista.

PYTANIE 05

Jedno rozwiązanie

Równanie $4x-7=2x+1$ ma:

jedno rozwiązanie

brak rozwiązań

wszystkie liczby rzeczywiste

tylko liczby dodatnie

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

jedno rozwiązanie

Po przeniesieniu wyrazów mamy $2x=8$ , więc $x=4$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Równanie liniowe może mieć jedno rozwiązanie, brak rozwiązań albo nieskończenie wiele rozwiązań.

Zapamiętaj

$2x=10\Rightarrow x=5$

$0=7\Rightarrow \emptyset$

$0=0\Rightarrow x\in\mathbb{R}$

gdy znika niewiadoma, patrzysz na prawdę albo fałsz