Rozwiązywanie równań kwadratowych

ZANIM ZACZNIESZ

W tej lekcji przejdziesz pełny schemat: sprowadzenie równania do zera, obliczenie delty, wybór wzoru i podanie rozwiązań.

Na start

najpierw przygotujesz postać ogólną

potem policzysz deltę i pierwiastek z delty

na końcu sprawdzisz wynik w równaniu

Po tej lekcji:

rozwiążesz pełne równanie kwadratowe
zastosujesz wzory na pierwiastki
sprawdzisz rozwiązania przez podstawienie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pełny schemat

Równanie kwadratowe rozwiązuj w stałej kolejności. Schemat zabezpiecza przed zgubieniem znaku.

Schemat rozwiązywania równania kwadratowego od postaci ogólnej przez deltę do liczby rozwiązań.

02WYJAŚNIENIE

Wzory na rozwiązania

Gdy delta jest dodatnia, równanie ma dwa rozwiązania. Różnią się znakiem przed pierwiastkiem z delty. W obu wzorach cały licznik dzielimy przez $2a$ . Symbole $x_1$ i $x_2$ oznaczają dwa rozwiązania. Przy ujemnym $a$ pierwszy z tych wzorów może dać większą liczbę; przed zapisaniem przedziałów uporządkuj wyniki rosnąco.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta=0\quad \Rightarrow\quad x_0=\frac{-b}{2a}$

Wskazówka

W mianowniku zawsze stoi $2a$ . W liczniku jest $-b$ , czyli liczba przeciwna do współczynnika $b$ .

03WYJAŚNIENIE

$x^2-5x+6=0$

W tym przykładzie delta jest dodatnia, więc liczymy dwa rozwiązania.

$a=1,\quad b=-5,\quad c=6$

$\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1$

$\sqrt{\Delta}=1$

$x_1=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$

$x_2=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$

Dwa rozwiązania

$x=2\quad \text{lub}\quad x=3$

04WYJAŚNIENIE

Jedno rozwiązanie albo brak

Nie każdy przykład kończy się dwoma liczbami. Znak delty decyduje, którego wzoru użyć.

$x^2-6x+9=0:\quad \Delta=0,\quad x_0=\frac{-(-6)}{2}=3$

$x^2+4x+8=0:\quad \Delta=-16<0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Wskazówka

Nie zapisuj $\sqrt{-16}=4$ . W liczbach rzeczywistych pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje.

05WYJAŚNIENIE

Najpierw sprowadź do zera

Wzory z deltą działają dla równania zapisanego z zerem po jednej stronie. Po obliczeniu delty podstawiamy do wzorów: $x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac52$ , $x_2=\frac{-3+7}{4}=1$ . Liczba $7$ pochodzi z $\sqrt{49}$ , a mianownik $4$ z $2\cdot2$ .

$2x^2+3x=5$

$2x^2+3x-5=0$

$a=2,\quad b=3,\quad c=-5$

$\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=49$

$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=1$

Wskazówka

Po przeniesieniu liczby na drugą stronę zmienia się jej znak.

06WYJAŚNIENIE

Czasem szybciej bez delty

Jeśli równanie łatwo rozłożyć na czynniki, zasada iloczynu równego zero bywa krótsza.

$x^2-7x=0$

$x(x-7)=0$

$x=0\quad \text{lub}\quad x=7$

07WYJAŚNIENIE

Sprawdzenie przez podstawienie

Rozwiązanie możesz sprawdzić, podstawiając liczbę do równania początkowego.

$2x^2+3x=5$

$x=1:\quad 2\cdot1^2+3\cdot1=2+3=5$

$x=-\frac{5}{2}:\quad 2\cdot\frac{25}{4}+3\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{2}-\frac{15}{2}=5$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dwa rozwiązania

Rozwiązania równania $x^2-3x+2=0$ to:

$x=1\ \text{i}\ x=2$

$x=-1\ \text{i}\ x=-2$

$x=0\ \text{i}\ x=3$

brak rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x=1\ \text{i}\ x=2$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=1$ . Ze wzorów dostajemy $x=1$ i $x=2$ .

PYTANIE 02

Postać ogólna

Po sprowadzeniu równania $2x^2+x=3$ do postaci ogólnej otrzymujemy:

$2x^2+x+3=0$

$2x^2+x-3=0$

$2x^2-x+3=0$

$2x^2-3x+1=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$2x^2+x-3=0$

Przenosimy $3$ na lewą stronę jako $-3$ .

PYTANIE 03

Jedno rozwiązanie

Równanie $x^2+2x+1=0$ ma rozwiązanie:

$x=1$

$x=-1$

$x=0\ \text{i}\ x=-1$

brak rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x=-1$

$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot1=0$ , więc $x_0=\frac{-2}{2}=-1$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Pełne równanie kwadratowe rozwiązujesz przez deltę i wzory dobrane do jej znaku.

Zapamiętaj

$\Delta>0:\quad x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta=0:\quad x_0=\frac{-b}{2a}$

$\Delta<0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązywanie równań kwadratowych