Delta i liczba rozwiązań równania kwadratowego - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Delta i liczba rozwiązań

W tej lekcji nauczysz się obliczać deltę i od razu rozstrzygać, czy równanie kwadratowe ma dwa, jedno czy zero rozwiązań rzeczywistych.

Na start

najpierw sprowadzisz równanie do postaci $ax^2+bx+c=0$

potem policzysz $\Delta=b^2-4ac$

na końcu połączysz znak delty z parabolą

Po tej lekcji:

sprowadzisz równanie do postaci ogólnej
obliczysz deltę
określisz liczbę rozwiązań na podstawie znaku delty

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw zero po jednej stronie

Deltę liczymy dopiero po zapisaniu równania w postaci ogólnej. Wtedy współczynniki mają właściwe znaki.

$2x^2=5x-3$

$2x^2-5x+3=0$

$a=2,\quad b=-5,\quad c=3$

Wskazówka

Nie odczytuj współczynników z równania, w którym część wyrażeń stoi po prawej stronie.

02WYJAŚNIENIE

Wzór na deltę

Delta jest liczbą obliczaną ze współczynników równania kwadratowego.

$\Delta=b^2-4ac$

$x^2-6x+5=0$

$a=1,\quad b=-6,\quad c=5$

$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16$

Wzór

Przy ujemnym współczynniku zapisuj kwadrat w nawiasie.

03WYJAŚNIENIE

Co mówi znak delty

Znak delty mówi, ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie. We wzorze na rozwiązania występuje $\sqrt{\Delta}$ : dodatnia delta daje dwie możliwości znaku, zerowa jedną, a ujemna nie daje pierwiastka rzeczywistego. Na rysunku parabola to wykres wyrażenia kwadratowego, a jej przecięcia z poziomą osią odpowiadają rozwiązaniom równania.

Trzy parabele pokazujące dwa przecięcia, jedno dotknięcie i brak przecięć z osią.

$\Delta>0$ oznacza dwa rozwiązania rzeczywiste.

$\Delta=0$ oznacza jedno rozwiązanie rzeczywiste.

$\Delta<0$ oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.

04WYJAŚNIENIE

Trzy krótkie przykłady

Do określenia liczby rozwiązań wystarczy znak delty.

$x^2-5x+6=0:\quad \Delta=1>0$ - dwa rozwiązania.

$x^2-4x+4=0:\quad \Delta=0$ - jedno rozwiązanie.

$x^2+2x+5=0:\quad \Delta=-16<0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Wskazówka

Gdy delta jest ujemna, nie pierwiastkujemy jej w liczbach rzeczywistych.

05WYJAŚNIENIE

Brakujący składnik to współczynnik zero

W równaniu kwadratowym składnik może być niewidoczny, ale jego współczynnik nadal ma wartość zero.

$2x^2-8=0\quad \Rightarrow\quad a=2,\ b=0,\ c=-8$

$3x^2+6x=0\quad \Rightarrow\quad a=3,\ b=6,\ c=0$

$2x^2-8=0:\quad \Delta=0^2-4\cdot2\cdot(-8)=64$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Oblicz deltę

Delta równania $x^2-8x+12=0$ jest równa:

$16$

$64$

$112$

$-16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$16$

$a=1,\ b=-8,\ c=12$ , więc $\Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16$ .

PYTANIE 02

Ujemna delta

Jeśli $\Delta<0$ , to równanie kwadratowe ma:

dwa rozwiązania rzeczywiste

jedno rozwiązanie rzeczywiste

brak rozwiązań rzeczywistych

$x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

brak rozwiązań rzeczywistych

Ujemna delta oznacza, że parabola nie przecina osi $OX$ .

PYTANIE 03

Brakujący współczynnik

W równaniu $5x^2-20=0$ współczynniki są równe:

$a=5,\ b=-20,\ c=0$

$a=5,\ b=0,\ c=-20$

$a=0,\ b=5,\ c=-20$

$a=5,\ b=20,\ c=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a=5,\ b=0,\ c=-20$

Brakuje składnika liniowego, więc $b=0$ . Wyraz wolny to $-20$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Delta pozwala rozstrzygnąć liczbę rozwiązań równania kwadratowego bez liczenia samych pierwiastków.

Zapamiętaj

$\Delta=b^2-4ac$

$\Delta>0$ - dwa rozwiązania; $\Delta=0$ - jedno; $\Delta<0$ - brak rzeczywistych.

Współczynniki odczytuj po sprowadzeniu równania do zera.