Nierówności kwadratowe

ZANIM ZACZNIESZ

W tej lekcji rozwiążesz nierówności kwadratowe przez miejsca zerowe i szkic paraboli. Będziesz wybierać te przedziały, na których wykres jest nad albo pod osią.

Na start

najpierw znajdziesz miejsca zerowe

potem sprawdzisz kierunek ramion

na końcu zapiszesz odpowiedź przedziałami

Po tej lekcji:

rozwiążesz nierówność kwadratową z miejscami zerowymi
wybierzesz przedziały nad albo pod osią
uwzględnisz nawiasy przy znakach ostrych i nieostrych

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Nierówność pyta o znak

Równanie pyta, kiedy wyrażenie jest równe zero. Nierówność pyta, kiedy wyrażenie jest dodatnie albo ujemne.

$x^2-4=0$ pyta o miejsca zerowe.

$x^2-4>0$ pyta o wartości dodatnie.

$x^2-4<0$ pyta o wartości ujemne.

02WYJAŚNIENIE

Parabola pokazuje znak

Gdy parabola jest nad osią $OX$ , wyrażenie ma wartości dodatnie. Gdy jest pod osią, wartości są ujemne.

Parabola przecinająca oś w minus dwa i dwa z zaznaczonymi fragmentami dodatnimi i ujemnymi.

Każdemu argumentowi $x$ przypisujemy wartość wyrażenia, np. $y=x^2-4$ , i zaznaczamy punkt $(x,y)$ . Otrzymana krzywa to parabola. Dodatnia współrzędna $y$ oznacza punkt nad osią, ujemna — pod nią. Zapis $f(x)$ oznacza tę samą wartość co $y$ .

Zapamiętaj

Nad osią: wartości dodatnie.

Pod osią: wartości ujemne.

Na osi: wartość równa zero.

03WYJAŚNIENIE

Ramiona w górę czy w dół

Kierunek ramion zależy od współczynnika przy $x^2$ . To decyduje, które przedziały mają znak dodatni.

Porównanie paraboli z ramionami w górę i w dół oraz dodatnich fragmentów wykresu.

Schemat „między” i „na zewnątrz” dotyczy dwóch różnych miejsc zerowych, uporządkowanych $x_1<x_2$ . Gdy delta jest niedodatnia, analizujemy przypadki osobno.

$a>0$ - dodatnie wartości są na zewnątrz miejsc zerowych.

$a<0$ - dodatnie wartości są między miejscami zerowymi.

04WYJAŚNIENIE

$a>0$ : plus, minus, plus

Dla paraboli z ramionami w górę i dwoma miejscami zerowymi znak jest dodatni na zewnątrz i ujemny w środku.

Schemat znaków plus minus plus dla paraboli z ramionami w górę.

$f(x)>0\quad \Rightarrow\quad (-\infty,x_1)\cup(x_2,\infty)$

$f(x)<0\quad \Rightarrow\quad (x_1,x_2)$

05WYJAŚNIENIE

$x^2-4>0$

Szukamy miejsc, gdzie parabola leży nad osią. Najpierw znajdujemy jej miejsca zerowe. Możemy też sprawdzić znaki czynników: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Dla $x<-2$ oba są ujemne, dla $-2<x<2$ mają przeciwne znaki, a dla $x>2$ oba są dodatnie. Stąd znaki: plus, minus, plus.

$x^2-4=0$

$x=-2\quad \text{lub}\quad x=2$

Ponieważ $a=1>0$ , dodatnie wartości są na zewnątrz.

$x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$

Przykład

Znak ostry nie włącza miejsc zerowych.

06WYJAŚNIENIE

$x^2-4\le0$

Miejsca zerowe są takie same, ale znak nieostry włącza końce do odpowiedzi.

$x=-2\quad \text{lub}\quad x=2$

Dla ramion w górę wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi.

$x\in[-2,2]$

Wskazówka

Przy znakach $\le$ i $\ge$ miejsca zerowe należą do rozwiązania.

07WYJAŚNIENIE

$a<0$ : minus, plus, minus

Gdy ramiona są skierowane w dół, schemat znaków odwraca się: dodatni fragment jest między miejscami zerowymi.

$-x^2+4>0$

$-x^2+4=0\quad \Rightarrow\quad x=-2\ \text{lub}\ x=2$

$x\in(-2,2)$

08WYJAŚNIENIE

Pełna nierówność z deltą

W pełnej nierówności najpierw znajdujemy miejsca zerowe tak jak w równaniu kwadratowym.

$x^2-5x+6\ge0$

$\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=1$

$x_1=2,\quad x_2=3$

Ponieważ $a>0$ i mamy znak $\ge0$ , wybieramy zewnętrzne przedziały razem z końcami.

$x\in(-\infty,2]\cup[3,\infty)$

09WYJAŚNIENIE

Gdy miejsc zerowych jest mniej

Przy delcie równej zero parabola dotyka osi w jednym punkcie. Przy delcie ujemnej nie przecina osi wcale. W dwóch pierwszych przykładach $x^2-4x+4=(x-2)^2$ . Kwadrat jest nieujemny zawsze, lecz równy zero tylko dla $x=2$ . Natomiast $x^2+1$ jest co najmniej równe $1$ , więc nigdy nie jest ujemne.

$x^2-4x+4\ge0\quad \Rightarrow\quad x\in\mathbb{R}$

$x^2-4x+4>0\quad \Rightarrow\quad x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty)$

$x^2+1>0\quad \Rightarrow\quad x\in\mathbb{R}$

$x^2+1<0\quad \Rightarrow\quad \varnothing$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Dodatnie na zewnątrz

Rozwiązaniem nierówności $x^2-9>0$ jest:

$(-3,3)$

$(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$

$[-3,3]$

$(-\infty,-3]\cup[3,\infty)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$

Miejsca zerowe to $-3$ i $3$ . Parabola ma ramiona w górę, więc dodatnia jest na zewnątrz. Znak ostry wyklucza końce.

PYTANIE 02

Ramiona w dół

Nierówność $-x^2+4>0$ ma rozwiązanie:

$(-2,2)$

$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$

$[-2,2]$

$\mathbb{R}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(-2,2)$

Miejsca zerowe to $-2$ i $2$ , a ramiona są w dół, więc dodatni fragment jest między nimi.

PYTANIE 03

Znak nieostry

Rozwiązaniem nierówności $x^2+4\ge0$ jest:

$\varnothing$

$\{0\}$

$\mathbb{R}$

$(-\infty,0]$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\mathbb{R}$

$x^2\ge0$ dla każdej liczby rzeczywistej, więc $x^2+4>0$ dla każdego $x$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Nierówność kwadratową rozwiązujesz przez miejsca zerowe i znak paraboli na przedziałach.

Zapamiętaj

Dla $a>0$ i dwóch miejsc zerowych schemat znaków to $+,-,+$ .

Dla $a<0$ schemat odwraca się na $-,+,-$ .

Znaki $>$ i $<$ wykluczają miejsca zerowe, a $\ge$ i $\le$ je włączają.

Nierówności kwadratowe