Równania kwadratowe niezupełne

ZANIM ZACZNIESZ

W tej lekcji rozpoznasz prostsze równania kwadratowe i dobierzesz metodę bez liczenia delty: pierwiastkowanie, wyłączanie czynnika albo przypadek z samym kwadratem.

Na start

najpierw rozpoznasz, którego składnika brakuje

potem rozwiążesz równania typu $x^2=k$

na końcu użyjesz zasady iloczynu równego zero

Po tej lekcji:

rozpoznasz równanie kwadratowe niezupełne
rozwiążesz równania przez pierwiastkowanie
rozwiążesz równania przez wyłączanie czynnika przed nawias

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pełna postać równania kwadratowego

Równanie kwadratowe ma najwyższą potęgę niewiadomej równą dwa. W postaci ogólnej widzimy trzy miejsca na składniki.

$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$

$ax^2$ to składnik kwadratowy.

$bx$ to składnik liniowy.

$c$ to wyraz wolny.

Wskazówka

Znak jest częścią współczynnika. W równaniu $x^2-7x+10=0$ mamy $b=-7$ .

02WYJAŚNIENIE

Trzy typy niezupełne

Równanie jest niezupełne, gdy w postaci ogólnej brakuje składnika liniowego, wyrazu wolnego albo obu naraz.

$ax^2+c=0$ zwykle prowadzi do $x^2=k$ .

$ax^2+bx=0$ zwykle rozkładamy przez wyłączenie $x$ .

$ax^2=0$ ma rozwiązanie $x=0$ .

03WYJAŚNIENIE

$x^2=k$ dla dodatniego wyniku

Jeśli kwadrat liczby ma być dodatni, dostajemy dwa rozwiązania przeciwne.

$x^2=25$

$x=5\quad \text{lub}\quad x=-5$

$x^2=k,\ k>0\quad \Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{k}$

Pierwiastkowanie

Nie zostawiaj tylko dodatniego pierwiastka.

04WYJAŚNIENIE

$2x^2-18=0$

Gdy brakuje składnika liniowego, zostawiamy sam kwadrat niewiadomej po jednej stronie.

$2x^2-18=0$

$2x^2=18$

$x^2=9$

$x=3\quad \text{lub}\quad x=-3$

Wskazówka

Jeśli po przekształceniu dostajesz $x^2=-4$ , równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

05WYJAŚNIENIE

Kwadrat nie może być ujemny

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Liczba dodatnia i ujemna po podniesieniu do kwadratu dają wynik nieujemny.

Oś z liczbami minus trzy, zero i trzy oraz wyniki ich kwadratów.

Zapamiętaj

$x^2=k$ ma dwa rozwiązania dla $k>0$ , jedno dla $k=0$ i żadnego rzeczywistego dla $k<0$ .

06WYJAŚNIENIE

Wyłączanie czynnika

Jeśli każdy składnik zawiera niewiadomą, wyłączamy ją przed nawias i korzystamy z zasady iloczynu równego zero.

Schemat iloczynu równego zero z dwiema możliwościami A równe zero albo B równe zero.

$2x^2-6x=0$

$x(2x-6)=0$

$x=0\quad \text{lub}\quad 2x-6=0$

$x=0\quad \text{lub}\quad x=3$

Wskazówka

Nie dziel od razu przez $x$ , bo możesz zgubić rozwiązanie $x=0$ .

07WYJAŚNIENIE

$ax^2=0$

Jeśli po uproszczeniu zostaje tylko kwadrat równy zero, rozwiązanie jest jedno.

$-7x^2=0$

$x^2=0$

$x=0$

Zapamiętaj

Tylko zero ma kwadrat równy zero.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Rozwiązania równania

Rozwiązania równania $x^2=49$ to:

$x=7$

$x=-7$

$x=7\ \text{lub}\ x=-7$

brak rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$x=7\ \text{lub}\ x=-7$

$7^2=49$ oraz $(-7)^2=49$ , więc są dwa rozwiązania.

PYTANIE 02

Równanie z czynnikiem

Rozwiązania równania $3x^2-12x=0$ to:

$x=0\ \text{i}\ x=4$

$x=4$

$x=0\ \text{i}\ x=-4$

brak rozwiązań

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x=0\ \text{i}\ x=4$

Wyłączamy $3x$ : $3x(x-4)=0$ , więc $x=0$ lub $x=4$ .

PYTANIE 03

Brak rozwiązań rzeczywistych

Równanie $x^2=-9$ ma:

dwa rozwiązania

jedno rozwiązanie

brak rozwiązań rzeczywistych

$x=-3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

brak rozwiązań rzeczywistych

Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.

NA KONIEC

Najważniejsze po tej lekcji

Równania kwadratowe niezupełne najczęściej rozwiązujemy szybciej niż deltą, bo ich postać podpowiada metodę.

Zapamiętaj

$ax^2+c=0$ przekształcamy do $x^2=k$ .

$ax^2+bx=0$ rozwiązujemy przez wyłączenie czynnika.

$ax^2=0$ daje $x=0$ .

Równania kwadratowe niezupełne