Błąd względny i procentowy - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się oceniać błąd nie tylko jako różnicę, ale też jako część wartości dokładnej. Dzięki temu zobaczysz, czy pomyłka jest mała czy duża w skali całego wyniku.

Plan tej lekcji

Najpierw porównasz ten sam błąd w różnych skalach.

Potem poznasz wzór na błąd względny.

Na końcu zamienisz błąd względny na procentowy.

Na start

Błąd bezwzględny mówi „o ile”.

Błąd względny mówi, jaką część całości stanowi błąd.

Błąd procentowy mówi to samo w procentach.

Po tej lekcji:

obliczasz błąd względny
zamieniasz go na błąd procentowy
porównujesz dokładność różnych pomiarów

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ten sam błąd może znaczyć coś innego

Błąd $2$ cm może być mały albo duży. Zależy od tego, czy mierzysz długość stołu, czy długość małej śrubki.

Ten sam błąd 2 cm pokazany na odcinku 100 cm i 10 cm.

PRZYKŁAD

W dwóch pomiarach popełniono błąd $2$ cm. W pierwszym mierzono $100$ cm, a w drugim $10$ cm. W którym pomiarze błąd jest większy względem całości?

Rozwiązanie

Porównujemy ułamki błędu: $\frac{2}{100}=0{,}02$ oraz $\frac{2}{10}=0{,}2$ . Większy błąd względny jest przy pomiarze $10$ cm.

Zapamiętaj

Żeby ocenić skalę błędu, porównujemy błąd z wartością dokładną.

02WYJAŚNIENIE

Wzór na błąd względny

Błąd względny mówi, jaką częścią wielkości dokładnej jest błąd bezwzględny. Dzielimy go przez wartość bezwzględną liczby dokładnej $x$ , przy czym $x\ne0$ . Symbol $\delta$ czytamy „mała delta”. Dla dokładnej wartości zero ten iloraz nie jest określony.

$\delta=\frac{\Delta}{|x|}$

PRZYKŁAD

Wartość dokładna wynosi $80$ , a przybliżona $76$ . Oblicz błąd względny.

Rozwiązanie

Najpierw $\Delta=|80-76|=4$ . Potem $\delta=\frac{4}{80}=\frac{1}{20}=0{,}05$ .

Zapamiętaj

Błąd względny zwykle nie ma jednostki, bo jednostki skracają się w ilorazie.

03WYJAŚNIENIE

Błąd procentowy

Błąd procentowy to błąd względny zapisany w procentach. Najpierw liczysz błąd bezwzględny, potem dzielisz przez wartość dokładną, a na końcu mnożysz przez $100\%$ .

$\text{błąd procentowy}=\delta\cdot100\%$

PRZYKŁAD

Wartość dokładna wynosi $80$ , a przybliżona $76$ . Oblicz błąd procentowy.

Rozwiązanie

Błąd bezwzględny to $4$ . Błąd względny to $\frac{4}{80}=0{,}05$ . W procentach: $0{,}05\cdot100\%=5\%$ .

Wskazówka

Nie dziel błędu przez przybliżenie, jeśli zadanie pyta o standardowy błąd względny. W mianowniku jest wartość dokładna.

04WYJAŚNIENIE

Pełny schemat obliczania

W zadaniach maturalnych najbezpieczniej trzymać się stałego schematu: różnica, dzielenie, procent.

Ustal wartość dokładną $x$ i przybliżoną $a$ .

$\Delta=|x-a|$

$\delta=\frac{\Delta}{|x|}$

$\delta\cdot100\%$

PRZYKŁAD

Rzeczywista cena produktu wynosi $250$ zł. W reklamie podano ją jako $240$ zł. Oblicz błąd procentowy.

Rozwiązanie

Błąd bezwzględny: $|250-240|=10$ zł. Błąd względny: $\frac{10}{250}=\frac{1}{25}=0{,}04$ . Błąd procentowy: $4\%$ .

Wskazówka

Jeśli ułamek trudno zamienić na procenty w głowie, najpierw zapisz go jako liczbę dziesiętną.

05WYJAŚNIENIE

Porównywanie dokładności różnych pomiarów

Gdy porównujesz pomiary różnych wielkości, sam błąd bezwzględny może być mylący. Wtedy lepiej porównać błąd procentowy.

PRZYKŁAD

Pomiar A: wartość dokładna $200$ m, błąd $4$ m. Pomiar B: wartość dokładna $50$ m, błąd $2$ m. Który pomiar jest dokładniejszy procentowo?

Rozwiązanie

Dla A: $\frac{4}{200}\cdot100\%=2\%$ . Dla B: $\frac{2}{50}\cdot100\%=4\%$ . Dokładniejszy procentowo jest pomiar A.

Zapamiętaj

Mniejszy błąd procentowy oznacza dokładniejszy pomiar w stosunku do wartości dokładnej.

06WYJAŚNIENIE

Błąd procentowy po zaokrągleniu

Jeśli liczba została zaokrąglona, możesz policzyć, jaki procent wartości dokładnej stanowi zmiana spowodowana zaokrągleniem.

PRZYKŁAD

Liczbę $19{,}6$ zaokrąglono do $20$ . Oblicz błąd procentowy tego przybliżenia.

Rozwiązanie

Błąd bezwzględny: $|19{,}6-20|=0{,}4$ . Błąd względny: $\frac{0{,}4}{19{,}6}=\frac{4}{196}=\frac{1}{49}\approx0{,}0204$ . Błąd procentowy to około $2{,}04\%$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Błąd procentowy

Wartość dokładna wynosi $100$ , a przybliżona $96$ . Błąd procentowy wynosi:

$2\%$

$4\%$

$6\%$

$96\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4\%$

Błąd bezwzględny to $4$ . Błąd względny to $\frac{4}{100}=0{,}04$ , czyli $4\%$ .

PYTANIE 02

Błąd względny

Wartość dokładna wynosi $50$ , a błąd bezwzględny wynosi $5$ . Błąd względny to:

$\frac{1}{20}$

$\frac{1}{10}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{5}{1}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{1}{10}$

Błąd względny to $\frac{5}{50}=\frac{1}{10}$ .

PYTANIE 03

Dokładniejszy procentowo pomiar

Pomiar A ma błąd $3$ przy wartości dokładnej $150$ . Pomiar B ma błąd $2$ przy wartości dokładnej $50$ . Który pomiar jest dokładniejszy procentowo?

Pomiar A

Pomiar B

Oba są tak samo dokładne

Nie da się porównać

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

Pomiar A

Dla A: $\frac{3}{150}\cdot100\%=2\%$ . Dla B: $\frac{2}{50}\cdot100\%=4\%$ . Dokładniejszy jest pomiar A.

PYTANIE 04

Błąd procentowy przybliżenia

Liczbę $40$ przybliżono liczbą $42$ . Błąd procentowy tego przybliżenia wynosi:

$2\%$

$5\%$

$10\%$

$20\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$5\%$

Błąd bezwzględny to $|40-42|=2$ . Błąd procentowy to $\frac{2}{40}\cdot100\%=5\%$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Błąd względny pokazuje, jaką częścią wartości dokładnej jest błąd bezwzględny. Błąd procentowy zapisuje tę informację w procentach.

$\delta=\frac{\Delta}{|x|}$

$\text{błąd procentowy}=\delta\cdot100\%$

W standardowym wzorze dzielimy przez wartość dokładną, nie przez przybliżenie.

Przy porównywaniu różnych wielkości lepszy jest błąd procentowy niż sam błąd bezwzględny.

Umiesz ocenić błąd w skali całego wyniku.