Błąd bezwzględny

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się mierzyć, jak daleko przybliżenie leży od wartości dokładnej. To właśnie jest błąd bezwzględny.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz błąd jako odległość między dwiema liczbami.

Potem zapiszesz tę odległość za pomocą wartości bezwzględnej.

Na końcu porównasz, które przybliżenie jest dokładniejsze.

Na start

Błąd bezwzględny nie może być ujemny.

Wynik błędu ma taką samą jednostkę jak mierzona wielkość.

Po tej lekcji:

obliczasz błąd bezwzględny
rozumiesz go jako odległość
porównujesz dokładność przybliżeń tej samej wielkości

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Błąd jako różnica między liczbami

Załóżmy, że prawdziwa długość wynosi $120$ cm, a w pomiarze otrzymano $118$ cm. Pomiar jest mniejszy od wartości dokładnej o $2$ cm.

PRZYKŁAD

Wartość dokładna to $120$ cm, a przybliżona to $118$ cm. Oblicz, o ile pomiar różni się od wartości dokładnej.

Rozwiązanie

Liczymy różnicę: $120-118=2$ . Pomiar różni się od wartości dokładnej o $2$ cm.

Zapamiętaj

Błąd bezwzględny odpowiada na pytanie: o ile się pomyliliśmy?

02WYJAŚNIENIE

Wzór i obraz na osi

Błąd bezwzględny oznaczamy często literą $\Delta$ , czytaną jako „delta”. Jeśli $x$ to wartość dokładna, a $a$ to wartość przybliżona, to błąd jest odległością między nimi.

Oś liczbowa z punktami 7 i 10 oraz odległością Delta równą 3.

Pionowe kreski oznaczają wartość bezwzględną: dodatnią liczbę i zero zostawiamy, a z ujemnej bierzemy liczbę przeciwną. Dzięki temu odległość jest nieujemna, niezależnie od kolejności odejmowania.

$\Delta=|x-a|$

PRZYKŁAD

Wartość dokładna wynosi $50$ , a wartość przybliżona $53$ . Oblicz błąd bezwzględny.

Rozwiązanie

Podstawiamy: $\Delta=|50-53|=|-3|=3$ .

Wskazówka

Nie zostawiaj wyniku $-3$ . Błąd bezwzględny jest odległością, więc zawsze jest nieujemny.

03WYJAŚNIENIE

Błąd z jednostkami

Jeśli mierzysz długość w centymetrach, błąd też wyjdzie w centymetrach. Jeśli mierzysz masę w kilogramach, błąd wyjdzie w kilogramach.

$0{,}05\text{ kg}=50\text{ g}$

PRZYKŁAD

Rzeczywista masa paczki wynosi $2{,}40$ kg. Waga wskazała $2{,}35$ kg. Oblicz błąd bezwzględny pomiaru.

Rozwiązanie

$\Delta=|2{,}40-2{,}35|=0{,}05$ kg, czyli $50$ g.

Wskazówka

Jeśli w odpowiedziach są różne jednostki, sprowadź je do tej samej jednostki przed porównaniem.

04WYJAŚNIENIE

Które przybliżenie jest dokładniejsze?

Jeśli porównujesz przybliżenia tej samej wielkości, dokładniejsze jest to, które ma mniejszy błąd bezwzględny.

PRZYKŁAD

Dokładna długość odcinka wynosi $8{,}6$ cm. Ania podała $8{,}5$ cm, a Bartek $8{,}8$ cm. Kto podał dokładniejsze przybliżenie?

Rozwiązanie

Błąd Ani: $|8{,}6-8{,}5|=0{,}1$ cm. Błąd Bartka: $|8{,}6-8{,}8|=0{,}2$ cm. Mniejszy błąd ma Ania.

Zapamiętaj

Porównuj błędy, a nie same przybliżenia.

05WYJAŚNIENIE

Przybliżenie za duże albo za małe

Błąd bezwzględny liczymy tak samo, niezależnie od tego, czy przybliżenie jest za małe, czy za duże.

$|32-35|=3$

$|32-29|=3$

PRZYKŁAD

Dokładna liczba wynosi $32$ . Porównaj przybliżenia $35$ i $29$ .

Rozwiązanie

Przybliżenie $35$ jest za duże o $3$ , a $29$ jest za małe o $3$ . Oba mają ten sam błąd bezwzględny.

06WYJAŚNIENIE

Błąd po zaokrągleniu

Czasem przybliżenie powstaje przez zaokrąglenie. Wtedy błąd bezwzględny to różnica między liczbą przed zaokrągleniem i po zaokrągleniu.

PRZYKŁAD

Liczbę $14{,}386$ zaokrąglono do części setnych i otrzymano $14{,}39$ . Oblicz błąd bezwzględny.

Rozwiązanie

Dopisujemy zero: $14{,}39=14{,}390$ . Liczymy $|14{,}386-14{,}390|=0{,}004$ .

Wskazówka

Przy odejmowaniu liczb dziesiętnych możesz dopisać zera na końcu.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wartość dokładna wynosi $40$ , a przybliżona $37$ . Ile wynosi błąd bezwzględny?

$-3$

$3$

$37$

$77$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

Błąd bezwzględny to $|40-37|=3$ .

PYTANIE 02

Błąd pomiaru

Rzeczywista długość wynosi $12{,}5$ cm, a pomiar wskazał $12{,}8$ cm. Błąd bezwzględny wynosi:

$0{,}3\text{ cm}$

$-0{,}3\text{ cm}$

$25{,}3\text{ cm}$

$12{,}8\text{ cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0{,}3\text{ cm}$

$|12{,}5-12{,}8|=0{,}3$ cm.

PYTANIE 03

Najdokładniejsze przybliżenie

Dokładna masa wynosi $5$ kg. Które przybliżenie ma najmniejszy błąd bezwzględny?

$4{,}6\text{ kg}$

$4{,}8\text{ kg}$

$5{,}3\text{ kg}$

$5{,}5\text{ kg}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4{,}8\text{ kg}$

Błędy wynoszą kolejno $0{,}4$ , $0{,}2$ , $0{,}3$ , $0{,}5$ kg. Najmniejszy błąd ma $4{,}8$ kg.

PYTANIE 04

Błąd po przybliżeniu

Liczbę $2{,}718$ przybliżono liczbą $2{,}72$ . Błąd bezwzględny wynosi:

$0{,}002$

$0{,}02$

$0{,}2$

$2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0{,}002$

$2{,}72=2{,}720$ , więc $|2{,}718-2{,}720|=0{,}002$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Błąd bezwzględny mówi, o ile przybliżenie różni się od wartości dokładnej. Jest odległością, więc nie zapisujemy go jako liczby ujemnej.

$\Delta=|x-a|$

Błąd bezwzględny ma taką samą jednostkę jak mierzona wielkość.

Przy porównywaniu przybliżeń tej samej wartości dokładniejsze jest to, które ma mniejszy błąd bezwzględny.

Umiesz obliczać i interpretować błąd bezwzględny.