Przybliżenia i dokładność wyniku

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się pracować z wynikami, które nie są podane idealnie dokładnie. Tak jest przy pomiarach, pieniądzach, długościach, polach, objętościach i wynikach z kalkulatora.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz wartość dokładną od przybliżonej.

Potem przećwiczysz zaokrąglanie do jedności, dziesiątych, setnych i tysięcznych.

Na końcu odczytasz, jakie wartości mogły dać podany wynik po zaokrągleniu.

Na start

Przybliżenie często jest świadomym uproszczeniem wyniku.

Na maturze ważne jest, do którego miejsca zaokrąglasz.

Po tej lekcji:

odróżniasz wartość dokładną od przybliżonej
zaokrąglasz do wskazanej dokładności
odczytujesz przedział możliwych wartości po zaokrągleniu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wartość dokładna i przybliżona

Wartość dokładna to liczba, którą traktujemy jako prawdziwą w zadaniu. Wartość przybliżona jest bliska tej wartości, ale zapisana prościej. Symbol $\approx$ czytamy: „jest w przybliżeniu równe”.

$\pi\approx3{,}14$

$a\approx b$ oznacza przybliżenie.

$a=b$ oznacza dokładną równość.

PRZYKŁAD

Liczbę $7{,}2831$ podano w przybliżeniu jako $7{,}28$ . Co zostało zrobione?

Rozwiązanie

Liczba $7{,}28$ ma dwa miejsca po przecinku, więc zostawiono części setne i odrzucono dalsze cyfry.

$7{,}28$ jest łatwiejsze do zapisania, ale nie zawiera całej informacji z liczby $7{,}2831$ .

02WYJAŚNIENIE

Jak zaokrąglać liczbę?

Zaokrąglanie polega na zostawieniu liczby do wybranego miejsca. O tym, czy ostatnia zostawiona cyfra się zmienia, decyduje pierwsza odrzucona cyfra.

Pierwsza odrzucona cyfra $0,1,2,3,4$ : zostawiona cyfra się nie zmienia.

Pierwsza odrzucona cyfra $5,6,7,8,9$ : zostawiona cyfra rośnie o $1$ .

Najpierw ustal miejsce zaokrąglenia, dopiero potem patrz na następną cyfrę.

PRZYKŁAD

Zaokrąglij liczbę $12{,}746$ do części setnych.

Rozwiązanie

Części setne to drugie miejsce po przecinku. Zostawiamy $12{,}74$ . Następna cyfra to $6$ , więc $4$ rośnie do $5$ .

Wskazówka

Nie patrz na wszystkie odrzucone cyfry naraz. Decyduje pierwsza cyfra za miejscem, do którego zaokrąglasz.

$12{,}746\approx12{,}75$

03WYJAŚNIENIE

Ta sama liczba, różna dokładność

Jedną liczbę można zaokrąglić na kilka sposobów. Wynik zależy od tego, czy zaokrąglasz do jedności, części dziesiątych, setnych czy tysięcznych.

Do jedności: bez miejsc po przecinku.

Do części dziesiątych: jedno miejsce po przecinku.

Do części setnych: dwa miejsca po przecinku.

Do części tysięcznych: trzy miejsca po przecinku.

PRZYKŁAD

Zaokrąglij liczbę $8{,}3674$ do jedności, części dziesiątych i części setnych.

Rozwiązanie

$8{,}3674\approx8$ do jedności, bo następna cyfra to $3$ . $8{,}3674\approx8{,}4$ do dziesiątych, bo następna cyfra to $6$ . $8{,}3674\approx8{,}37$ do setnych, bo następna cyfra to $7$ .

04WYJAŚNIENIE

Co oznacza „z dokładnością do...”?

Sformułowanie „z dokładnością do...” mówi, do jakiego miejsca wynik ma być zaokrąglony.

Z dokładnością do $1$ : do jedności.

Z dokładnością do $0{,}1$ : do części dziesiątych.

Z dokładnością do $0{,}01$ : do części setnych.

Z dokładnością do $0{,}001$ : do części tysięcznych.

PRZYKŁAD

Podaj liczbę $5{,}9382$ z dokładnością do $0{,}01$ .

Rozwiązanie

Dokładność $0{,}01$ oznacza części setne. Zostawiamy $5{,}93$ , następna cyfra to $8$ , więc wynik to $5{,}94$ .

Zapamiętaj

Dokładność $0{,}01$ nie oznacza, że wynik ma być $0{,}01$ . Oznacza dwa miejsca po przecinku.

05WYJAŚNIENIE

Zaokrąglanie i pomiar na osi

Zaokrąglanie do części dziesiątych można rozumieć jako wybór bliższej liczby z jednym miejscem po przecinku. Wynik pomiaru też ma dokładność: jeśli zapisano $24$ cm z dokładnością do $1$ cm, prawdziwa długość mogła być trochę mniejsza albo większa.

Oś od 3,7 do 3,8 pokazująca, że 3,74 leży przed granicą 3,75 i zaokrągla się do 3,7.

Granica między $3{,}7$ i $3{,}8$ to $3{,}75$ .

$23{,}5\le x<24{,}5$

PRZYKŁAD

Masa podana jako $4{,}7$ kg jest wynikiem zaokrąglenia do $0{,}1$ kg. W jakim przedziale mogła być rzeczywista masa?

Rozwiązanie

Połowa dokładności $0{,}1$ to $0{,}05$ . Granice to $4{,}7-0{,}05=4{,}65$ oraz $4{,}7+0{,}05=4{,}75$ , więc $4{,}65\le m<4{,}75$ .

Wskazówka

Przy wyniku $24$ cm z dokładnością do $1$ cm granice są w połowie odległości do sąsiednich liczb całkowitych.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zaokrąglenie do setnych

Liczbę $9{,}846$ zaokrąglono do części setnych. Który wynik jest poprawny?

$9{,}8$

$9{,}84$

$9{,}85$

$9{,}9$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$9{,}85$

Części setne to drugie miejsce po przecinku. W liczbie $9{,}846$ następna cyfra to $6$ , więc wynik to $9{,}85$ .

PYTANIE 02

Dokładność do $0{,}1$

Liczbę $13{,}052$ podano z dokładnością do $0{,}1$ . Jaki wynik należy zapisać?

$13$

$13{,}0$

$13{,}05$

$13{,}1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$13{,}1$

Dokładność $0{,}1$ oznacza jedno miejsce po przecinku. Zostawiamy $13{,}0$ , a następna cyfra to $5$ , więc wynik to $13{,}1$ .

PYTANIE 03

Możliwa długość przed zaokrągleniem

Pomiar długości podano jako $18$ cm z dokładnością do $1$ cm. Która długość mogła dać taki wynik po zaokrągleniu?

$17{,}4\text{ cm}$

$17{,}6\text{ cm}$

$18{,}5\text{ cm}$

$18{,}7\text{ cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$17{,}6\text{ cm}$

Wynik $18$ cm z dokładnością do $1$ cm oznacza $17{,}5\le x<18{,}5$ . Liczba $17{,}6$ należy do tego przedziału.

PYTANIE 04

Części tysięczne

Który zapis oznacza, że liczba została podana z dokładnością do części tysięcznych?

$2{,}4$

$2{,}45$

$2{,}456$

$2{,}4567$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$2{,}456$

Części tysięczne to trzy miejsca po przecinku. Liczba $2{,}456$ ma trzy cyfry po przecinku.

NA KONIEC

Podsumowanie

Przybliżenie to uproszczony zapis liczby, zwykle po zaokrągleniu. Dokładność mówi, do którego miejsca zapisujesz wynik.

Symbol $\approx$ oznacza „w przybliżeniu równe”.

Przy zaokrąglaniu decyduje pierwsza odrzucona cyfra.

Dokładność $0{,}1$ , $0{,}01$ , $0{,}001$ oznacza odpowiednio jedno, dwa i trzy miejsca po przecinku.

Przy odtwarzaniu możliwych wartości bierzesz połowę dokładności w lewo i w prawo od wyniku.

Umiesz zaokrąglać i odczytywać dokładność wyniku.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Wartość dokładna i przybliżona

Jak zaokrąglać liczbę?

Ta sama liczba, różna dokładność

Co oznacza „z dokładnością do...”?

Zaokrąglanie i pomiar na osi

Teraz Twoja kolej

Zaokrąglenie do setnych

Dokładność do 0,10{,}10,1

Możliwa długość przed zaokrągleniem

Części tysięczne

Podsumowanie

Dokładność do $0{,}1$