Proporcjonalność odwrotna

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać sytuacje, w których jedna wielkość maleje tyle razy, ile druga rośnie. Jeśli tę samą pracę wykonuje dwa razy więcej osób, to czas pracy zwykle jest dwa razy krótszy.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz proporcjonalność odwrotną na przykładzie pracy.

Potem zapiszesz wzór $y=\frac{a}{x}$ .

Następnie nauczysz się znajdować stałą $a$ .

Na końcu odróżnisz proporcjonalność odwrotną od prostej w tabeli.

Na start

W proporcjonalności odwrotnej iloczyn $x\cdot y$ jest stały.

Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje tak, żeby iloczyn się nie zmienił.

Po tej lekcji:

rozpoznać proporcjonalność odwrotną, zapisać zależność $y=\frac{a}{x}$ i obliczać brakujące wartości

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ta sama praca, więcej osób, mniej czasu

Jeśli jedna osoba wykonuje pracę w $12$ godzin, to dwie osoby wykonujące tę pracę w tym samym tempie potrzebują $6$ godzin. Trzy osoby potrzebują $4$ godzin. Iloczyn liczby osób i czasu jest cały czas równy $12$ .

Ilustracja do lekcji o proporcjonalności.

Zakładamy, że pracę można podzielić między osoby, ich wydajność się sumuje i nie przeszkadzają sobie wzajemnie. Bez tego założenia podwojenie liczby osób nie musi skrócić czasu o połowę.

$1\cdot 12=12$

$2\cdot 6=12$

$3\cdot 4=12$

Przykład

Jedna osoba wykonuje pewną pracę w $12$ godzin. Ile czasu potrzebują $4$ osoby pracujące w tym samym tempie?

Rozwiązanie

Cała praca odpowiada stałemu iloczynowi $12$ osobogodzin.

Dla $4$ osób zapisujemy $4\cdot t=12$ , gdzie $t$ oznacza czas w godzinach.

Dzielimy przez $4$ : $t=\frac{12}{4}=3$ .

$4$ osoby potrzebują $3$ godzin.

02WYJAŚNIENIE

Wzór proporcjonalności odwrotnej

W proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn $x\cdot y$ . Jeśli ten iloczyn oznaczymy przez $a$ , to po podzieleniu przez $x$ dostajemy wzór $y=\frac{a}{x}$ .

$x\cdot y=a$

$y=\frac{a}{x}$

Przykład

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a stała wynosi $a=24$ . Oblicz $y$ , gdy $x=6$ .

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru $y=\frac{a}{x}$ .

Podstawiamy $a=24$ oraz $x=6$ .

Otrzymujemy $y=\frac{24}{6}$ .

Liczymy: $y=4$ .

Dla $x=6$ wartość $y$ wynosi $4$ , a iloczyn $6\cdot 4=24$ .

Zapamiętaj

Stała $a$ w proporcjonalności odwrotnej to iloczyn $x\cdot y$ .

03WYJAŚNIENIE

Jak znaleźć stałą $a$ ?

Jeśli znasz jedną parę wartości $x$ i $y$ , stałą proporcjonalności odwrotnej znajdziesz przez pomnożenie tych liczb.

$a=x\cdot y$

Przykład

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x=8$ mamy $y=5$ . Znajdź wzór tej zależności.

Rozwiązanie

W proporcjonalności odwrotnej stała to $a=x\cdot y$ .

Podstawiamy dane: $a=8\cdot 5=40$ .

Wzór ma postać $y=\frac{a}{x}$ .

Podstawiamy $a=40$ : $y=\frac{40}{x}$ .

Każda para wartości w tej zależności ma iloczyn równy $40$ .

Wskazówka

W proporcjonalności prostej dzielisz $\frac{y}{x}$ . W proporcjonalności odwrotnej mnożysz $x\cdot y$ .

04WYJAŚNIENIE

Tabela proporcjonalności odwrotnej

W tabeli proporcjonalności odwrotnej nie szukamy stałego ilorazu. Szukamy stałego iloczynu $x\cdot y$ .

Przykład

Sprawdź, czy tabela opisuje proporcjonalność odwrotną: $x=2,3,6$ , $y=18,12,6$ .

Rozwiązanie

Dla pierwszej pary liczymy $2\cdot 18=36$ .

Dla drugiej pary: $3\cdot 12=36$ .

Dla trzeciej pary: $6\cdot 6=36$ .

Iloczyn jest za każdym razem taki sam.

Tabela opisuje proporcjonalność odwrotną ze stałą $a=36$ , czyli $y=\frac{36}{x}$ .

Wskazówka

Uwaga: Jeśli $x$ rośnie o $1$ , a $y$ maleje o $1$ , to jeszcze nie znaczy, że jest proporcjonalność odwrotna. Musi być stały iloczyn.

05WYJAŚNIENIE

Prosta czy odwrotna?

W proporcjonalności prostej stały jest iloraz $\frac{y}{x}$ . W proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn $x\cdot y$ . To najkrótszy test rozpoznawania.

Proporcjonalność prosta: $y=ax$ , stałe $\frac{y}{x}$ .

Proporcjonalność odwrotna: $y=\frac{a}{x}$ , stałe $x\cdot y$ .

Prosta: gdy $x$ rośnie dwa razy, $y$ też rośnie dwa razy.

Odwrotna: gdy $x$ rośnie dwa razy, $y$ maleje dwa razy.

Przykład

Dla par $(2,10)$ , $(4,5)$ , $(10,2)$ rozpoznaj typ zależności.

Rozwiązanie

Sprawdzamy iloczyn pierwszej pary: $2\cdot 10=20$ .

Sprawdzamy iloczyn drugiej pary: $4\cdot 5=20$ .

Sprawdzamy iloczyn trzeciej pary: $10\cdot 2=20$ .

Iloczyn jest stały, więc to proporcjonalność odwrotna.

Zależność ma wzór $y=\frac{20}{x}$ .

06WYJAŚNIENIE

Brak wartości dla $x=0$

We wzorze $y=\frac{a}{x}$ nie wolno podstawiać $x=0$ , bo nie dzielimy przez zero. Dlatego proporcjonalność odwrotna nie ma wartości dla $x=0$ .

$y=\frac{12}{x}$

$x\neq 0$

Przykład

Czy dla funkcji $y=\frac{12}{x}$ można obliczyć wartość dla $x=0$ ?

Rozwiązanie

Podstawienie $x=0$ dałoby zapis $y=\frac{12}{0}$ .

Dzielenie przez $0$ nie jest określone.

Dlatego $x=0$ nie należy do dziedziny tej funkcji.

Funkcja $y=\frac{12}{x}$ ma wartości dla wszystkich liczb oprócz $0$ .

Zapamiętaj

W proporcjonalności odwrotnej zawsze pilnuj warunku $x\neq 0$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Jeśli $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a $x\cdot y=48$ , to dla $x=6$ wartość $y$ wynosi:

$6$

$8$

$42$

$288$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8$

Korzystamy z $y=\frac{48}{x}$ . Dla $x=6$ : $y=\frac{48}{6}=8$ .

PYTANIE 02

Która tabela opisuje proporcjonalność odwrotną?

$x:1,2,4$ , $y:3,6,12$

$x:1,2,4$ , $y:12,6,3$

$x:1,2,4$ , $y:5,6,7$

$x:1,2,4$ , $y:2,4,8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x:1,2,4$ , $y:12,6,3$

W tabeli B iloczyn $x\cdot y$ jest stały: $1\cdot 12=12$ , $2\cdot 6=12$ , $4\cdot 3=12$ .

PYTANIE 03

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x=5$ mamy $y=9$ . Wzór zależności to:

$y=45x$

$y=\frac{45}{x}$

$y=\frac{9}{5}x$

$y=x+4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$y=\frac{45}{x}$

Stała wynosi $a=5\cdot 9=45$ , więc wzór ma postać $y=\frac{45}{x}$ .

PYTANIE 04

W funkcji $y=\frac{7}{x}$ nie wolno podstawić:

$x=1$

$x=7$

$x=-7$

$x=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$x=0$

Nie wolno dzielić przez zero, więc $x=0$ jest wykluczone.

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Proporcjonalność odwrotna ma wzór:

$y=\frac{a}{x}$

Stałą $a$ obliczamy jako iloczyn:

$a=x\cdot y$

W tabeli proporcjonalności odwrotnej stały jest iloczyn $x\cdot y$ , a nie iloraz. Gdy $x$ rośnie kilka razy, $y$ maleje tyle samo razy. We wzorze $\frac{a}{x}$ zawsze obowiązuje warunek $x\neq 0$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Ta sama praca, więcej osób, mniej czasu

Wzór proporcjonalności odwrotnej

Jak znaleźć stałą aaa?

Tabela proporcjonalności odwrotnej

Prosta czy odwrotna?

Brak wartości dla x=0x=0x=0

Teraz Twoja kolej

Jeśli xxx i yyy są odwrotnie proporcjonalne, a x⋅y=48x\cdot y=48x⋅y=48, to dla x=6x=6x=6 wartość yyy wynosi:

Która tabela opisuje proporcjonalność odwrotną?

Wielkości xxx i yyy są odwrotnie proporcjonalne. Dla x=5x=5x=5 mamy y=9y=9y=9. Wzór zależności to:

W funkcji y=7xy=\frac{7}{x}y=x7​ nie wolno podstawić:

Najkrótsze podsumowanie metod

Jak znaleźć stałą $a$ ?

Brak wartości dla $x=0$

Jeśli $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, a $x\cdot y=48$ , to dla $x=6$ wartość $y$ wynosi:

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x=5$ mamy $y=9$ . Wzór zależności to:

W funkcji $y=\frac{7}{x}$ nie wolno podstawić: