Funkcja y = a/x i jej wykres

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji zobaczysz, jak wygląda wykres funkcji $y=\frac{a}{x}$ . Nauczysz się ustalać, w których ćwiartkach leżą gałęzie wykresu, dlaczego wykres nie dotyka osi oraz jak sprawdzić, czy punkt należy do wykresu.

Plan tej lekcji

Najpierw przygotujesz tabelę wartości dla $y=\frac{6}{x}$ .

Potem zobaczysz kształt wykresu dla dodatniego $a$ .

Następnie porównasz go z wykresem dla ujemnego $a$ .

Na końcu przećwiczysz sprawdzanie punktów i odczytywanie współczynnika $a$ .

Na start

Wykres funkcji $y=\frac{a}{x}$ nazywamy hiperbolą.

Funkcja nie jest określona dla $x=0$ .

Po tej lekcji:

narysować i odczytać podstawowe własności wykresu funkcji $y=\frac{a}{x}$, zwłaszcza położenie gałęzi i brak wartości dla $x=0$

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Tabela wartości dla $y=\frac{6}{x}$

Żeby zobaczyć kształt wykresu, wybieramy kilka wartości $x$ , ale omijamy $0$ . Dla dodatnich $x$ wartości $y$ są dodatnie, a dla ujemnych $x$ wartości $y$ są ujemne.

Ilustracja do lekcji o proporcjonalności.

$y=\frac{6}{x}$

Przykład

Uzupełnij wartości funkcji $y=\frac{6}{x}$ dla $x=-6,-3,-2,1,2,3,6$ .

Rozwiązanie

Dla $x=-6$ : $y=\frac{6}{-6}=-1$ .

Dla $x=-3$ : $y=\frac{6}{-3}=-2$ .

Dla $x=-2$ : $y=\frac{6}{-2}=-3$ .

Dla $x=1$ : $y=\frac{6}{1}=6$ .

Dla $x=2$ : $y=\frac{6}{2}=3$ .

Dla $x=3$ : $y=\frac{6}{3}=2$ .

Dla $x=6$ : $y=\frac{6}{6}=1$ .

Punkty wykresu leżą w I i III ćwiartce układu współrzędnych.

02WYJAŚNIENIE

Hiperbola dla dodatniego $a$

Gdy $a>0$ , liczby $x$ i $y$ mają ten sam znak. Dla dodatniego $x$ mamy dodatnie $y$ , więc jedna gałąź leży w I ćwiartce. Dla ujemnego $x$ mamy ujemne $y$ , więc druga gałąź leży w III ćwiartce.

$y=\frac{6}{x}$

$a=6>0$

Zapamiętaj

Dla $a>0$ gałęzie wykresu leżą w I i III ćwiartce.

03WYJAŚNIENIE

Hiperbola dla ujemnego $a$

Gdy $a<0$ , liczby $x$ i $y$ mają przeciwne znaki. Dla dodatniego $x$ wartość $y$ jest ujemna, a dla ujemnego $x$ wartość $y$ jest dodatnia.

$y=\frac{-6}{x}$

$a=-6<0$

Przykład

W których ćwiartkach leży wykres funkcji $y=\frac{-6}{x}$ ?

Rozwiązanie

Dla $x>0$ dzielimy liczbę ujemną przez dodatnią, więc $y<0$ . To IV ćwiartka.

Dla $x<0$ dzielimy liczbę ujemną przez ujemną, więc $y>0$ . To II ćwiartka.

Wykres ma dwie gałęzie: w II i IV ćwiartce.

Ujemny współczynnik $a$ przenosi gałęzie hiperboli do ćwiartek II i IV.

Zapamiętaj

Dla $a<0$ gałęzie wykresu leżą w II i IV ćwiartce.

04WYJAŚNIENIE

Wykres nie przecina osi

Funkcja $y=\frac{a}{x}$ nie ma wartości dla $x=0$ , więc wykres nie przecina osi $y$ . Nie przecina też osi $x$ , bo $\frac{a}{x}$ nie może być równe $0$ , jeśli $a\neq 0$ .

$x\neq 0$

$\frac{a}{x}\neq 0 \quad \text{dla } a\neq 0$

Przykład

Czy wykres funkcji $y=\frac{4}{x}$ przecina oś $x$ ?

Rozwiązanie

Punkt na osi $x$ musiałby mieć współrzędną $y=0$ .

Sprawdzamy, czy $\frac{4}{x}=0$ .

Ułamek $\frac{4}{x}$ nie jest równy $0$ , bo licznik $4$ nie jest zerem.

Wykres nie przecina osi $x$ .

Gałęzie hiperboli zbliżają się do osi, ale ich nie dotykają.

Wskazówka

Uwaga: To, że wykres zbliża się do osi, nie oznacza, że kiedyś ją przetnie. Dla $y=\frac{a}{x}$ osie są granicami, do których wykres się zbliża.

05WYJAŚNIENIE

Czy punkt należy do wykresu?

Żeby sprawdzić, czy punkt należy do wykresu $y=\frac{a}{x}$ , podstawiamy jego współrzędną $x$ do wzoru i sprawdzamy, czy wychodzi podane $y$ .

Przykłady

Sprawdź, czy punkty $P=(3,4)$ i $Q=(2,5)$ należą do wykresu $y=\frac{12}{x}$ .

Rozwiązanie

Współrzędna $x$ punktu to $3$ .

Podstawiamy do wzoru: $y=\frac{12}{3}$ .

Liczymy: $\frac{12}{3}=4$ .

Otrzymana wartość zgadza się z drugą współrzędną punktu.

Punkt $P=(3,4)$ należy do wykresu $y=\frac{12}{x}$ .

Współrzędna $x$ punktu to $2$ .

Podstawiamy: $y=\frac{12}{2}=6$ .

Punkt ma drugą współrzędną $5$ , a z wzoru wychodzi $6$ .

Wartości się nie zgadzają.

Punkt $Q=(2,5)$ nie należy do wykresu tej funkcji.

Wskazówka

Możesz też sprawdzić iloczyn współrzędnych. Dla $y=\frac{12}{x}$ każdy punkt wykresu spełnia $x\cdot y=12$ .

06WYJAŚNIENIE

Jak odczytać $a$ z punktu wykresu?

Jeśli punkt leży na wykresie $y=\frac{a}{x}$ , to jego współrzędne spełniają warunek $a=x\cdot y$ . Wystarczy pomnożyć współrzędne punktu.

$y=\frac{a}{x}$

$a=x\cdot y$

Przykład

Wykres funkcji $y=\frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(-2,5)$ . Oblicz $a$ .

Rozwiązanie

Punkt ma współrzędne $x=-2$ oraz $y=5$ .

Dla funkcji $y=\frac{a}{x}$ stała wynosi $a=x\cdot y$ .

Mnożymy: $a=(-2)\cdot 5=-10$ .

Wzór funkcji to $y=\frac{-10}{x}$ , a jej gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wykres funkcji $y=\frac{5}{x}$ leży w ćwiartkach:

I i II

I i III

II i IV

III i IV

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

I i III

Współczynnik $a=5$ jest dodatni, więc gałęzie leżą w I i III ćwiartce.

PYTANIE 02

Wykres funkcji $y=\frac{-8}{x}$ leży w ćwiartkach:

I i III

II i III

II i IV

I i IV

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

II i IV

Współczynnik $a=-8$ jest ujemny, więc gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.

PYTANIE 03

Który punkt należy do wykresu $y=\frac{18}{x}$ ?

$(3,6)$

$(3,5)$

$(6,6)$

$(18,18)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(3,6)$

Dla punktu $(3,6)$ iloczyn współrzędnych wynosi $3\cdot 6=18$ , więc punkt należy do wykresu.

PYTANIE 04

Jeśli wykres $y=\frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(4,-3)$ , to $a$ jest równe:

$1$

$-12$

$12$

$-\frac{4}{3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$-12$

Stała wynosi $a=x\cdot y=4\cdot (-3)=-12$ .

NA KONIEC

Najkrótsze podsumowanie metod

Funkcja proporcjonalności odwrotnej ma wzór:

$y=\frac{a}{x},\quad x\neq 0$

Jeśli $a>0$ , gałęzie hiperboli leżą w I i III ćwiartce. Jeśli $a<0$ , leżą w II i IV ćwiartce.

Wykres nie przecina osi $x$ ani osi $y$ . Punkt $(x,y)$ należy do wykresu wtedy, gdy $x\cdot y=a$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Tabela wartości dla y=6xy=\frac{6}{x}y=x6​

Hiperbola dla dodatniego aaa

Hiperbola dla ujemnego aaa

Wykres nie przecina osi

Czy punkt należy do wykresu?

Jak odczytać aaa z punktu wykresu?

Teraz Twoja kolej

Wykres funkcji y=5xy=\frac{5}{x}y=x5​ leży w ćwiartkach:

Wykres funkcji y=−8xy=\frac{-8}{x}y=x−8​ leży w ćwiartkach:

Który punkt należy do wykresu y=18xy=\frac{18}{x}y=x18​?

Jeśli wykres y=axy=\frac{a}{x}y=xa​ przechodzi przez punkt (4,−3)(4,-3)(4,−3), to aaa jest równe:

Najkrótsze podsumowanie metod

Tabela wartości dla $y=\frac{6}{x}$

Hiperbola dla dodatniego $a$

Hiperbola dla ujemnego $a$

Jak odczytać $a$ z punktu wykresu?

Wykres funkcji $y=\frac{5}{x}$ leży w ćwiartkach:

Wykres funkcji $y=\frac{-8}{x}$ leży w ćwiartkach:

Który punkt należy do wykresu $y=\frac{18}{x}$ ?

Jeśli wykres $y=\frac{a}{x}$ przechodzi przez punkt $(4,-3)$ , to $a$ jest równe: