Kilka zmian procentowych po sobie - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się liczyć sytuacje typu: najpierw podwyżka o $10\%$ , potem obniżka o $10\%$ . Druga zmiana jest liczona od nowej wartości, dlatego wynik nie musi wrócić do punktu startu.

Plan tej lekcji

Najpierw przypomnisz sobie mnożniki zmian.

Potem zastosujesz je jeden po drugim.

Na końcu porównasz kilka zmian z jedną zmianą łączną.

Na start

Przy kilku zmianach procentowych mnożymy kolejne mnożniki.

Po tej lekcji:

obliczasz wynik kilku kolejnych zmian
rozumiesz, dlaczego zmian procentowych zwykle nie dodajemy
cofasz zmianę przez dzielenie przez mnożnik

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dlaczego nie dodajemy zmian procentowych?

Jeśli cena najpierw wzrośnie o $10\%$ , a potem spadnie o $10\%$ , to spadek nie jest liczony od starej ceny, tylko od ceny po podwyżce.

Cena 100 zł rośnie do 110 zł, a po spadku o 10 procent kończy jako 99 zł.

PRZYKŁAD

Cena $100$ zł wzrosła o $10\%$ , a potem spadła o $10\%$ . Jaka jest cena końcowa?

Rozwiązanie

$100\cdot 1{,}1=110$ zł. Potem zostaje $90\%$ z $110$ zł, więc $110\cdot 0{,}9=99$ zł.

Wskazówka

Błąd: $+10\%-10\%=0\%$ , więc cena zostaje $100$ zł. To nie działa, bo drugi procent liczony jest od innej podstawy.

02WYJAŚNIENIE

Mnożniki kolejnych zmian

Każdą zmianę procentową zamieniamy na mnożnik. Potem wykonujemy mnożenia po kolei albo mnożymy wszystkie mnożniki razem.

$\text{podwyżka o }10\%\Rightarrow 1{,}1$

$\text{podwyżka o }20\%\Rightarrow 1{,}2$

$1{,}1\cdot 1{,}2=1{,}32$

PRZYKŁAD

Kwota $500$ zł wzrosła o $10\%$ , a potem jeszcze o $20\%$ . Ile wynosi na końcu?

Rozwiązanie

$500\cdot 1{,}1=550$ i $550\cdot 1{,}2=660$ zł. Mnożnik łączny $1{,}32$ oznacza wzrost o $32\%$ .

Wskazówka

Delta: gdy masz kilka zmian, zapisz tylko mnożniki. To często najczystsza droga do wyniku.

03WYJAŚNIENIE

Kolejne obniżki i cofanie zmiany

Dwie obniżki też liczymy mnożnikami. Jeśli znamy cenę po zmianie i trzeba odtworzyć cenę początkową, dzielimy przez mnożnik.

Cena 400 zł po obniżkach o 20 procent i 25 procent przechodzi w 320 zł, a potem 240 zł.

Przykład cofania: po obniżce o $20\%$ cena wynosi $240$ zł. To $0{,}8$ ceny początkowej, więc wcześniej było $240:0{,}8=300$ zł. Sprawdzenie: $300\cdot0{,}8=240$ .

PRZYKŁAD

Cena $400$ zł została najpierw obniżona o $20\%$ , a potem o $25\%$ . Ile wynosi cena końcowa?

Rozwiązanie

Po pierwszej obniżce zostaje $80\%$ : $400\cdot 0{,}8=320$ zł. Po drugiej zostaje $75\%$ : $320\cdot 0{,}75=240$ zł.

Zapamiętaj

Gdy cofasz zmianę procentową, nie odejmujesz procentu od wartości końcowej. Dzielisz przez mnożnik.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Cena końcowa po dwóch zmianach

Cena $100$ zł wzrosła o $20\%$ , a potem o $10\%$ . Jaka jest cena końcowa?

130 zł

132 zł

120 zł

110 zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

132 zł

Mnożniki to $1{,}2$ i $1{,}1$ , więc $100\cdot 1{,}2\cdot 1{,}1=132$ .

PYTANIE 02

Cena przed obniżką

Po obniżce o $20\%$ cena wynosi $80$ zł. Ile wynosiła cena przed obniżką?

64 zł

96 zł

100 zł

120 zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

100 zł

Obniżka o $20\%$ zostawia $80\%$ , więc $0{,}8x=80$ i $x=100$ .

PYTANIE 03

Dwie obniżki

Cena $200$ zł została obniżona o $10\%$ , a potem o $20\%$ . Ile wynosi cena końcowa?

140 zł

144 zł

160 zł

170 zł

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

144 zł

Po pierwszej obniżce zostaje $90\%$ , po drugiej $80\%$ . $200\cdot 0{,}9\cdot 0{,}8=144$ .

PYTANIE 04

Podwyżka i obniżka o tyle samo

Jaki jest łączny efekt podwyżki o $50\%$ , a potem obniżki o $50\%$ ?

bez zmian

wzrost o $25\%$

spadek o $25\%$

spadek o $50\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

spadek o $25\%$

Mnożnik łączny to $1{,}5\cdot 0{,}5=0{,}75$ . Końcowo zostaje $75\%$ , więc jest spadek o $25\%$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Przy kilku zmianach procentowych najważniejsze są mnożniki i aktualna podstawa. Zmian procentowych zwykle nie dodajemy ani nie odejmujemy wprost.

Podwyżka o $p\%$ ma mnożnik $1+\frac{p}{100}$ .

Obniżka o $p\%$ ma mnożnik $1-\frac{p}{100}$ .

Aby cofnąć zmianę, dzielimy przez mnożnik.

Umiesz liczyć kilka zmian procentowych po sobie.