Wzrost i spadek wykładniczy

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w lekcji

W tej lekcji zamienisz wzrost i spadek procentowy na mnożniki, zapiszesz kilka takich samych zmian potęgą i sprawdzisz pułapkę, w której wzrost i spadek o ten sam procent nie kasują się.

Na start

mnożnik wzrostu i spadku

potęga jako powtarzana zmiana

całkowita zmiana procentowa

Po tej lekcji:

zapiszesz powtarzany wzrost lub spadek procentowy potęgą
obliczysz wartość po kilku okresach
odczytasz całkowitą zmianę z mnożnika

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Mnożnik wzrostu i spadku

Wzrost o $20\%$ oznacza, że mamy $120\%$ wartości. Spadek o $20\%$ oznacza, że zostaje $80\%$ wartości.

Porównanie paska wzrostu do 120% i paska spadku do 80%.

$\text{wzrost o }p\%: 1+\frac{p}{100}$

$\text{spadek o }p\%: 1-\frac{p}{100}$

$150\cdot1{,}20=180$ oraz $150\cdot0{,}80=120$

02WYJAŚNIENIE

Dlaczego pojawia się potęga

Jeżeli ta sama zmiana procentowa powtarza się kilka razy, powtarza się ten sam mnożnik. Potęga jest skrótem takiego wielokrotnego mnożenia. Przykład dotyczy wartości początkowej $400$ i trzech kolejnych wzrostów o $10\%$ . Zapis $a_3$ oznacza wartość po trzeciej zmianie; stąd wykładnik $3$ .

wzrost o $10\%$ ma mnożnik $q=1{,}10$

$a_3=400\cdot1{,}10^3$

$400\cdot1{,}331=532{,}4$

Zapamiętaj

$a_n=a_0\cdot q^n$

Wskazówka

Wykładnik mówi, ile razy wykonano tę samą zmianę procentową.

03WYJAŚNIENIE

Wzrost wykładniczy na liczbach

Przy tym samym procencie kolejne przyrosty kwotowe są coraz większe, bo procent liczymy od coraz większej wartości.

$1000\cdot1{,}10=1100$

$1000\cdot1{,}10^3=1331$

$1000\cdot1{,}10^4=1464{,}10$

04WYJAŚNIENIE

Spadek wykładniczy na liczbach

W spadku wykładniczym wartość maleje o ten sam procent, ale nie o tę samą kwotę. Spadki kwotowe są coraz mniejsze.

Przykład: wartość samochodu wynosi $50000$ zł i maleje co rok o $15\%$ . Po każdym roku zostaje $85\%$ , czyli mnożnik $0{,}85$ . Szukamy wartości po trzech latach, dlatego używamy trzeciej potęgi.

$q=0{,}85$

$50000\cdot0{,}85^3$

$50000\cdot0{,}614125=30706{,}25$

Zapamiętaj

$a_n=a_0\cdot q^n,\quad 0<q<1$

Wskazówka

Spadek o $15\%$ przez $3$ lata to $0{,}85^3$ , a nie spadek o $45\%$ .

05WYJAŚNIENIE

Kilka różnych zmian procentowych

Jeżeli zmiany procentowe są różne, nie robimy jednej potęgi. Każdą zmianę zamieniamy na osobny mnożnik i mnożymy je po kolei.

$200\cdot1{,}10\cdot0{,}80$

$200\cdot1{,}10=220$

$220\cdot0{,}80=176$

$1{,}10\cdot0{,}80=0{,}88$ czyli spadek o $12\%$

Wskazówka

Wzrost o $10\%$ i spadek o $20\%$ nie oznaczają razem spadku o $10\%$ .

06WYJAŚNIENIE

Jak znaleźć całkowitą zmianę

Po kilku zmianach najpierw znajdź mnożnik całkowity. Jeśli jest większy od $1$ , opisuje wzrost. Jeśli jest mniejszy od $1$ , opisuje spadek.

$1{,}10^3=1{,}331$

$1{,}331=133{,}1\%$

$133{,}1\%-100\%=33{,}1\%$

Wskazówka

Różnicę od $1$ zamieniasz na procent.

07WYJAŚNIENIE

Czy ten sam procent się kasuje?

Wzrost i spadek o ten sam procent nie muszą dać powrotu do wartości początkowej. Drugi procent jest liczony od innej podstawy.

Schemat: 100 wzrasta do 120, a potem spada do 96.

$100\cdot1{,}20=120$

$120\cdot0{,}80=96$

$100\cdot1{,}20\cdot0{,}80=96$

Zapamiętaj

Ten sam procent od różnych podstaw daje różne kwoty.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Liczba $600$ rośnie przez $2$ lata o $10\%$ rocznie. Ile wynosi po $2$ latach?

$660$

$720$

$726$

$6600$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$726$

$600\cdot1{,}10^2=600\cdot1{,}21=726$ .

PYTANIE 02

Wartość $4000\text{ zł}$ maleje co rok o $5\%$ . Jaki jest poprawny zapis wartości po $3$ latach?

$4000\cdot0{,}95^3$

$4000\cdot1{,}05^3$

$4000\cdot0{,}05^3$

$4000-3\cdot5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$4000\cdot0{,}95^3$

Spadek o $5\%$ oznacza, że zostaje $95\%$ , czyli mnożnik $0{,}95$ .

PYTANIE 03

Cena wzrosła o $25\%$ , a potem spadła o $20\%$ . Jaki jest mnożnik całkowity?

$1{,}05$

$1$

$0{,}95$

$1{,}25\cdot0{,}20$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1$

$1{,}25\cdot0{,}80=1$ , więc wartość wraca do początkowej.

PYTANIE 04

Mnożnik całkowity po kilku zmianach wynosi $0{,}72$ . Co to oznacza?

wzrost o $72\%$

spadek o $72\%$

spadek o $28\%$

wzrost o $28\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

spadek o $28\%$

$0{,}72=72\%$ wartości początkowej. Do $100\%$ brakuje $28\%$ .

NA KONIEC

Powtarzane zmiany procentowe

Powtarzaną zmianę procentową zapisujemy potęgą mnożnika. Kilka różnych zmian zapisujemy jako iloczyn kolejnych mnożników, bo procenty zwykle działają na różne podstawy.

Zapamiętaj

$1+\frac{p}{100}$ dla wzrostu

$1-\frac{p}{100}$ dla spadku

$a_n=a_0\cdot q^n$

Co będzie w lekcji

Wyjaśnienie krok po kroku

Mnożnik wzrostu i spadku

Dlaczego pojawia się potęga

Wzrost wykładniczy na liczbach

Spadek wykładniczy na liczbach

Kilka różnych zmian procentowych

Jak znaleźć całkowitą zmianę

Czy ten sam procent się kasuje?

Teraz Twoja kolej

Liczba 600600600 rośnie przez 222 lata o 10%10\%10% rocznie. Ile wynosi po 222 latach?

Wartość 4000 zł4000\text{ zł}4000 zł maleje co rok o 5%5\%5%. Jaki jest poprawny zapis wartości po 333 latach?

Cena wzrosła o 25%25\%25%, a potem spadła o 20%20\%20%. Jaki jest mnożnik całkowity?

Mnożnik całkowity po kilku zmianach wynosi 0,720{,}720,72. Co to oznacza?

Powtarzane zmiany procentowe

Liczba $600$ rośnie przez $2$ lata o $10\%$ rocznie. Ile wynosi po $2$ latach?

Wartość $4000\text{ zł}$ maleje co rok o $5\%$ . Jaki jest poprawny zapis wartości po $3$ latach?

Cena wzrosła o $25\%$ , a potem spadła o $20\%$ . Jaki jest mnożnik całkowity?

Mnożnik całkowity po kilku zmianach wynosi $0{,}72$ . Co to oznacza?