Procent prosty a procent składany

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w lekcji

W tej lekcji porównasz dwa sposoby naliczania procentu. Najpierw przypomnisz mnożnik wzrostu, potem policzysz procent prosty i składany na tych samych danych, a na końcu rozpoznasz metodę po treści zadania.

Na start

mnożnik wzrostu

stałe odsetki albo odsetki od odsetek

wybór wzoru w zadaniu

Po tej lekcji:

odróżnisz procent prosty od składanego
obliczysz wartość po kilku okresach
rozpoznasz metodę po treści zadania

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wzrost o procent jako mnożenie

Jeśli kwota rośnie o $10\%$ , po zmianie zostaje całość i dochodzi dodatkowe $10\%$ . Razem bierzemy $110\%$ wartości początkowej.

Dwa paski pokazujące wzrost ze 100% do 110% i mnożenie przez 1,10.

$110\%=\frac{110}{100}=1{,}10$

$1000\cdot1{,}10=1100$

po wzroście kwota wynosi $1100\text{ zł}$

Zapamiętaj

Wzrost o $p\%$ zapisujemy mnożnikiem $1+\frac{p}{100}$ .

02WYJAŚNIENIE

Procent prosty: ta sama podstawa

W procencie prostym odsetki w każdym okresie liczymy od kwoty początkowej. Przy kapitale $1000\text{ zł}$ i oprocentowaniu $10\%$ co roku dopisujemy tę samą kwotę.

Oś czasu dla procentu prostego: 1000, 1100, 1200, 1300 i trzy takie same przyrosty po 100 zł.

Liczymy kwotę po trzech latach. We wzorze $K_0$ oznacza kapitał początkowy, $K$ kwotę końcową, $n$ liczbę okresów, a $p$ liczbę procentów naliczanych w jednym okresie.

$10\%\cdot1000=0{,}10\cdot1000=100$

$1000+3\cdot100=1300$

$K=K_0\left(1+n\cdot\frac{p}{100}\right)$

Zapamiętaj

W procencie prostym przyrost jest stały w każdym okresie.

03WYJAŚNIENIE

Procent składany: nowa podstawa

W procencie składanym po każdym okresie nowa kwota staje się podstawą następnego naliczenia. Dlatego odsetki też zaczynają pracować.

Oś czasu dla procentu składanego: 1000, 1100, 1210, 1331 oraz rosnące przyrosty.

$1000\cdot1{,}10=1100$

$1100\cdot1{,}10=1210$

$1210\cdot1{,}10=1331$

Zapamiętaj

W procencie składanym przyrost zwykle zmienia się z okresu na okres.

04WYJAŚNIENIE

Wzór na procent składany

Jeżeli w każdym okresie wartość rośnie o ten sam procent, za każdym razem mnożymy przez ten sam czynnik. Liczba okresów trafia do wykładnika. Przy stałym oprocentowaniu $p\%$ w każdym okresie: $K=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$ . W przykładzie kapitalizacja odbywa się raz w roku, więc dwa lata oznaczają dwa mnożenia przez $1{,}08$ .

dla $3000\text{ zł}$ i $8\%$ przez $2$ lata

$K=3000\cdot1{,}08^2$

$K=3000\cdot1{,}1664=3499{,}20$

Zapamiętaj

$K=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

Wskazówka

Dwa okresy to nie $1{,}08\cdot2$ , tylko $1{,}08^2$ .

05WYJAŚNIENIE

Ten sam start, inny wynik

Przy krótkim czasie różnica bywa mała. Po kilku okresach procent składany daje większy wynik, bo pracują też wcześniej dopisane odsetki.

Dwie kolumny: procent prosty daje 1300, a składany 1331.

prosty: $1000\left(1+3\cdot0{,}10\right)=1300$

składany: $1000\cdot1{,}10^3=1331$

różnica: $31\text{ zł}$

Zapamiętaj

Przy dodatnim oprocentowaniu i więcej niż jednym okresie procent składany daje więcej niż prosty.

06WYJAŚNIENIE

Jak rozpoznać metodę

W treści nie zawsze pojawi się nazwa metody. Najważniejsze jest to, od czego naliczany jest procent w kolejnym okresie.

od kapitału początkowego: procent prosty

po każdym okresie od nowej kwoty: procent składany

sformułowanie „co roku o” zwykle oznacza procent składany

Wskazówka

Nie dodawaj $4\%+4\%+4\%=12\%$ , jeśli procent jest liczony co roku od nowej wartości.

07WYJAŚNIENIE

Gdy znamy początek i koniec

Czasem trzeba znaleźć roczny mnożnik. Porównujemy wartość końcową z początkową i szukamy liczby, która po kilku takich samych mnożeniach daje cały wzrost. Przykład: kwota $800$ zł po dwóch latach wzrosła do $968$ zł przy tej samej rocznej stopie i kapitalizacji rocznej. Litera $q$ oznacza dodatni mnożnik roczny. Wybieramy dodatni pierwiastek, bo kwota po roku jest dodatnia.

$968=800\cdot q^2$

$q^2=\frac{968}{800}=1{,}21$

$q=\sqrt{1{,}21}=1{,}10$

roczne oprocentowanie wynosi $10\%$

Zapamiętaj

$K=K_0\cdot q^n$

Wskazówka

Dwa takie same okresy zwykle prowadzą do pierwiastka drugiego stopnia.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Kapitał $1000\text{ zł}$ oprocentowano procentem prostym $6\%$ rocznie. Ile wynosi po $3$ latach?

$1060\text{ zł}$

$1180\text{ zł}$

$1191{,}016\text{ zł}$

$1800\text{ zł}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1180\text{ zł}$

$6\%\cdot1000=60$ , więc po $3$ latach dopisujemy $3\cdot60=180$ . Razem $1180\text{ zł}$ .

PYTANIE 02

Kwota $2000\text{ zł}$ rośnie przez $2$ lata o $5\%$ rocznie według procentu składanego. Który zapis jest poprawny?

$2000\cdot1{,}05^2$

$2000+2\cdot5$

$2000\cdot0{,}05^2$

$2000\cdot1{,}10$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$2000\cdot1{,}05^2$

Wzrost o $5\%$ daje mnożnik $1{,}05$ , a dwa okresy zapisujemy jako $1{,}05^2$ .

PYTANIE 03

Przy procencie składanym $1000\text{ zł}$ wzrosło po dwóch latach do $1210\text{ zł}$ . Jakie było roczne oprocentowanie?

$5\%$

$10\%$

$20\%$

$21\%$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$10\%$

$1210=1000\cdot q^2$ , więc $q^2=1{,}21$ i $q=1{,}10$ . To wzrost o $10\%$ rocznie.

PYTANIE 04

W którym przypadku na pewno chodzi o procent prosty?

Kwota rośnie co roku o $7\%$ .

Wartość jest co miesiąc mnożona przez $1{,}02$ .

Odsetki są naliczane zawsze od kapitału początkowego.

Po każdym roku odsetki dopisuje się do kapitału.

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

Odsetki są naliczane zawsze od kapitału początkowego.

Procent prosty oznacza, że odsetki liczymy od tej samej kwoty początkowej.

NA KONIEC

Prosty czy składany

Procent prosty dodaje ten sam przyrost w każdym okresie. Procent składany powtarza ten sam mnożnik, więc kolejne odsetki liczą się już od powiększonej kwoty.

Zapamiętaj

$K=K_0\left(1+n\cdot\frac{p}{100}\right)$

$K=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$

najpierw ustal, czy procent liczymy od starej czy od nowej wartości

Co będzie w lekcji

Wyjaśnienie krok po kroku

Wzrost o procent jako mnożenie

Procent prosty: ta sama podstawa

Procent składany: nowa podstawa

Wzór na procent składany

Ten sam start, inny wynik

Jak rozpoznać metodę

Gdy znamy początek i koniec

Teraz Twoja kolej

Kapitał 1000 zł1000\text{ zł}1000 zł oprocentowano procentem prostym 6%6\%6% rocznie. Ile wynosi po 333 latach?

Kwota 2000 zł2000\text{ zł}2000 zł rośnie przez 222 lata o 5%5\%5% rocznie według procentu składanego. Który zapis jest poprawny?

Przy procencie składanym 1000 zł1000\text{ zł}1000 zł wzrosło po dwóch latach do 1210 zł1210\text{ zł}1210 zł. Jakie było roczne oprocentowanie?

W którym przypadku na pewno chodzi o procent prosty?

Prosty czy składany

Kapitał $1000\text{ zł}$ oprocentowano procentem prostym $6\%$ rocznie. Ile wynosi po $3$ latach?

Kwota $2000\text{ zł}$ rośnie przez $2$ lata o $5\%$ rocznie według procentu składanego. Który zapis jest poprawny?

Przy procencie składanym $1000\text{ zł}$ wzrosło po dwóch latach do $1210\text{ zł}$ . Jakie było roczne oprocentowanie?