Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Potęgi, pierwiastki i logarytmy · LEKCJA 3 Z 3

Lokaty, kapitalizacja i kredyty

Procent składany

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w lekcji

W tej lekcji przełożysz procent składany na zadania bankowe. Zobaczysz, czym jest kapitalizacja, policzysz lokatę z różną częstotliwością dopisywania odsetek i przećwiczysz prosty schemat kredytu.

Na start

kapitalizacja odsetek

liczba okresów w potędze

kredyt liczony krok po kroku

Po tej lekcji:
  • obliczysz wartość lokaty z kapitalizacją
  • uwzględnisz liczbę kapitalizacji w roku
  • rozwiążesz proste zadanie o kredycie z odsetkami
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kapitalizacja: dopisanie odsetek

Kapitalizacja to moment, w którym bank dopisuje odsetki do lokaty. Od tej chwili odsetki stają się częścią kapitału.

Schemat dopisania 60 zł odsetek do kapitału 1000 zł, po czym powstaje nowy kapitał 1060 zł.
Schemat dopisania 60 zł odsetek do kapitału 1000 zł, po czym powstaje nowy kapitał 1060 zł.

1000⋅1,06=10601000\cdot1{,}06=1060

po pierwszej kapitalizacji jest 1060 zł1060\text{ zł}

Zapamiętaj

Po kapitalizacji kolejne odsetki liczą się od większej kwoty.

02WYJAŚNIENIE

Lokata z kapitalizacją roczną

Przy kapitalizacji rocznej jeden rok to jeden okres. Jeśli lokata trwa kilka lat, a oprocentowanie roczne jest stałe, używamy odpowiedniej potęgi. W tym przykładzie wpłata to 40004000 zł, oprocentowanie 5%5\% rocznie, czas trzy lata, bez dopłat i wypłat. Wszystkie rachunki w tej lekcji pomijają podatki i opłaty.

K=4000⋅1,053K=4000\cdot1{,}05^3

1,053=1,1576251{,}05^3=1{,}157625

4000⋅1,157625=4630,504000\cdot1{,}157625=4630{,}50

Zapamiętaj

K=K0(1+p100)nK=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n

Wskazówka

Najpierw znajdź liczbę kapitalizacji, a dopiero potem wpisuj wykładnik.

03WYJAŚNIENIE

Kapitalizacja częstsza niż raz w roku

W szkolnym modelu z nominalnym oprocentowaniem rocznym dzielimy roczną stopę przez liczbę kapitalizacji w roku. Przykład: wpłacamy 10001000 zł na dwa lata, oprocentowanie nominalne wynosi 6%6\% rocznie, a kapitalizacja odbywa się co pół roku. Stopa na półrocze to 3%3\%, a okresów jest 2⋅2=42\cdot2=4. Pomijamy podatki i opłaty.

Oś czasu od 0 do 2 lat podzielona na cztery półroczne okresy kapitalizacji.
Oś czasu od 0 do 2 lat podzielona na cztery półroczne okresy kapitalizacji.

6%2=3%\frac{6\%}{2}=3\%

2⋅2=42\cdot2=4 okresy półroczne

K=1000⋅1,034≈1125,51K=1000\cdot1{,}03^4\approx1125{,}51

Wskazówka

Przy oprocentowaniu 6%6\% w skali roku i kapitalizacji półrocznej nie mnożymy co pół roku przez 1,061{,}06.

04WYJAŚNIENIE

Wzór z liczbą kapitalizacji

Gdy kapitalizacja występuje mm razy w roku, dzielimy oprocentowanie roczne przez mm, a liczbę lat mnożymy przez mm. Przykład dotyczy 20002000 zł, trzech lat i nominalnej stopy rocznej 4%4\%. Kwartalnie naliczamy 1%1\%, a w trzech latach są 3⋅4=123\cdot4=12 kwartałów.

kapitalizacja kwartalna: m=4m=4

4%4=1%\frac{4\%}{4}=1\%

2000⋅1,0112≈2253,652000\cdot1{,}01^{12}\approx2253{,}65

Zapamiętaj

K=K0(1+p100m)mnK=K_0\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}

Wskazówka

Wykładnik to liczba wszystkich kapitalizacji, nie zawsze liczba lat.

05WYJAŚNIENIE

Porównanie dwóch lokat

Przy tym samym oprocentowaniu rocznym częstsza kapitalizacja może dać trochę większy wynik, bo odsetki są dopisywane wcześniej.

Dwie kolumny porównujące kapitalizację roczną 10600 i miesięczną 10616,78.
Dwie kolumny porównujące kapitalizację roczną 10600 i miesięczną 10616,78.

roczna: 10000⋅1,06=1060010000\cdot1{,}06=10600

miesięczna: 10000⋅1,00512≈10616,7810000\cdot1{,}005^{12}\approx10616{,}78

różnica wynosi około 16,78 zł16{,}78\text{ zł}

06WYJAŚNIENIE

Kredyt też może rosnąć procentowo

Jeżeli długu nie spłacamy po drodze, zadłużenie działa podobnie jak lokata. Różnica jest interpretacyjna: wynik jest kosztem, a nie zyskiem.

3000⋅1,0823000\cdot1{,}08^2

1,082=1,16641{,}08^2=1{,}1664

3000⋅1,1664=3499,203000\cdot1{,}1664=3499{,}20

Wskazówka

Jeśli są raty, sam wzór K0⋅qnK_0\cdot q^n zwykle nie wystarcza.

07WYJAŚNIENIE

Najpierw odsetki, potem spłata

Dług wynosi 10001000 zł. Najpierw doliczamy 2%2\% odsetek, a potem spłacamy 300300 zł. Ile długu zostaje? Odsetki liczymy od długu przed spłatą, a dopiero potem odejmujemy wpłaconą kwotę.

Schemat kolejności w kredycie: 1000 zł, po odsetkach 1020 zł, po spłacie 720 zł.
Schemat kolejności w kredycie: 1000 zł, po odsetkach 1020 zł, po spłacie 720 zł.

1000⋅1,02=10201000\cdot1{,}02=1020

1020−300=7201020-300=720

po spłacie zostaje 720 zł720\text{ zł}

Zapamiętaj

Zamiana kolejności działań może zmienić wynik.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Wpłacono 5000 zł5000\text{ zł} na lokatę 4%4\% rocznie z kapitalizacją roczną. Ile będzie po 22 latach?

A

5400 zł5400\text{ zł}

B

5408 zł5408\text{ zł}

C

5200 zł5200\text{ zł}

D

5800 zł5800\text{ zł}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

5408 zł5408\text{ zł}

5000⋅1,042=5000⋅1,0816=54085000\cdot1{,}04^2=5000\cdot1{,}0816=5408.

PYTANIE 02

Lokata ma 8%8\% w skali roku i kapitalizację kwartalną. Jakie oprocentowanie przypada na jeden kwartał?

A

8%8\%

B

4%4\%

C

2%2\%

D

1%1\%

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

2%2\%

Rok ma 44 kwartały, więc 8%4=2%\frac{8\%}{4}=2\%.

PYTANIE 03

Kwota 1000 zł1000\text{ zł} jest na lokacie 12%12\% w skali roku z kapitalizacją miesięczną przez 11 rok. Który zapis jest poprawny?

A

1000⋅1,12121000\cdot1{,}12^{12}

B

1000⋅1,01121000\cdot1{,}01^{12}

C

1000⋅0,12121000\cdot0{,}12^{12}

D

1000⋅1,12⋅121000\cdot1{,}12\cdot12

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

1000⋅1,01121000\cdot1{,}01^{12}

Oprocentowanie miesięczne to 12%12=1%\frac{12\%}{12}=1\%, więc miesięczny mnożnik wynosi 1,011{,}01.

PYTANIE 04

Dług 2000 zł2000\text{ zł} wzrósł po roku o 10%10\%, a potem spłacono 500 zł500\text{ zł}. Ile długu zostało?

A

1500 zł1500\text{ zł}

B

1600 zł1600\text{ zł}

C

1700 zł1700\text{ zł}

D

2200 zł2200\text{ zł}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

1700 zł1700\text{ zł}

Najpierw odsetki: 2000⋅1,10=22002000\cdot1{,}10=2200. Potem spłata: 2200−500=17002200-500=1700.

NA KONIEC

Lokaty i kredyty

Kapitalizacja oznacza dopisanie odsetek do kapitału. Przy częstszej kapitalizacji trzeba policzyć oprocentowanie jednego okresu i liczbę wszystkich okresów.

Zapamiętaj

K=K0(1+p100)nK=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n

K=K0(1+p100m)mnK=K_0\left(1+\frac{p}{100m}\right)^{mn}

w kredycie sprawdzaj, czy po drodze są spłaty