Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · LEKCJA 3 Z 5

Zdarzenie przeciwne

Prawdopodobieństwo

◷ 17 minPoziom: podstawowy6 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się korzystać z faktu, że zdarzenie albo zachodzi, albo nie zachodzi. Dzięki temu w zadaniach typu „co najmniej jeden” albo „nie wszystkie” policzysz czasem krótki przypadek przeciwny i odejmiesz jego prawdopodobieństwo od 11.

Na start

zdarzenie przeciwne do AA oznacza: AA nie zaszło

dokładnie jedno z dwóch zdarzeń AA i A′A' musi zajść

Po tej lekcji:
  • rozpoznasz zdarzenie przeciwne
  • użyjesz wzoru na dopełnienie
  • policzysz zadania typu co najmniej jeden
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Zdarzenie przeciwne zawiera wyniki spoza AA

Jeśli AA jest zdarzeniem, to A′A' składa się ze wszystkich wyników z Ω\Omega, które nie należą do AA.

Zbiór omega podzielony na zdarzenie A z liczbami parzystymi i A prim z liczbami nieparzystymi.
Zbiór omega podzielony na zdarzenie A z liczbami parzystymi i A prim z liczbami nieparzystymi.

A′=Ω∖AA'=\Omega\setminus A

dla parzystych na kostce: A={2,4,6}A=\{2,4,6\}

zdarzenie przeciwne: A′={1,3,5}A'=\{1,3,5\}

02WYJAŚNIENIE

Prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych sumują się do 11

Zdarzenie AA i zdarzenie przeciwne A′A' razem obejmują wszystkie możliwe wyniki i nie mają części wspólnej.

P(A)+P(A′)=1P(A)+P(A')=1

P(A′)=1−P(A)P(A')=1-P(A)

jeśli P(A)=38P(A)=\frac{3}{8}, to P(A′)=1−38=58P(A')=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}

03WYJAŚNIENIE

„Co najmniej jeden” licz przez „ani jeden”

Wyrażenie „co najmniej jeden” obejmuje wiele przypadków. Jego przeciwieństwem jest zwykle jeden prosty przypadek: „ani jeden”.

Wyniki dwóch rzutów monetą z co najmniej jednym orłem po lewej i zerem orłów po prawej.
Wyniki dwóch rzutów monetą z co najmniej jednym orłem po lewej i zerem orłów po prawej.

P(co najmniej jeden)=1−P(ani jeden)P(\text{co najmniej jeden})=1-P(\text{ani jeden})

dla dwóch rzutów monetą brak orła to tylko (R,R)(R,R)

P=1−14=34P=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}

04WYJAŚNIENIE

„Nie wszystkie” to nie to samo co „żadne”

Zdarzeniem przeciwnym do „nie wszystkie rzuty są orłami” jest „wszystkie rzuty są orłami”. Wystarczy jedna reszka, żeby zdarzenie „nie wszystkie” zaszło.

trzy rzuty monetą: ∣Ω∣=23=8|\Omega|=2^3=8

wszystkie orły: (O,O,O)(O,O,O), więc P=18P=\frac{1}{8}

nie wszystkie orły: 1−18=781-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}

Wskazówka

„Nie wszystkie są orłami” nie oznacza „nie ma żadnego orła”.

05WYJAŚNIENIE

Co najmniej raz szóstka

Przy kilku rzutach kostką zdarzenie „co najmniej raz wypadnie 66” ma wiele przypadków. Przeciwieństwo „ani razu 66” liczy się krócej.

w jednym rzucie brak 66 ma 55 wyników

w dwóch rzutach bez szóstki: 5⋅5=255\cdot5=25

P(brak 6)=2536P(\text{brak 6})=\frac{25}{36}

P(co najmniej jedna 6)=1−2536=1136P(\text{co najmniej jedna 6})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}

06WYJAŚNIENIE

Jak znaleźć zdarzenie przeciwne?

Zdarzenie przeciwne ma obejmować dokładnie te przypadki, w których pierwotne zdarzenie nie zachodzi. Nie wystarczy dopisać słowa „nie” w przypadkowym miejscu.

co najmniej jeden sukces ↔\leftrightarrow zero sukcesów

liczba większa niż 44↔\leftrightarrow liczba nie większa niż 44

wszystkie są czerwone ↔\leftrightarrow co najmniej jedna nie jest czerwona

dokładnie 22↔\leftrightarrow inna liczba niż 22

Wskazówka

Przeciwieństwem warunku x>2x>2 jest x≤2x\leq2.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Odjęcie od 11

Jeśli P(A)=710P(A)=\frac{7}{10}, to ile wynosi P(A′)P(A')?

A

110\frac{1}{10}

B

310\frac{3}{10}

C

710\frac{7}{10}

D

1710\frac{17}{10}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

310\frac{3}{10}

P(A′)=1−710=310P(A')=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}.

PYTANIE 02

Warunek przeciwny

Zdarzenie AA oznacza „wypadnie liczba mniejsza niż 55”. Które zdarzenie jest przeciwne?

A

wypadnie liczba większa niż 55

B

wypadnie 55

C

wypadnie liczba co najmniej 55

D

wypadnie liczba nieparzysta

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

wypadnie liczba co najmniej 55

Przeciwieństwem warunku x<5x<5 jest x≥5x\geq5, czyli wyniki 55 lub 66.

PYTANIE 03

Co najmniej jedna reszka

Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie reszka?

A

14\frac{1}{4}

B

12\frac{1}{2}

C

34\frac{3}{4}

D

11

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

34\frac{3}{4}

Zdarzeniem przeciwnym są dwa orły, których prawdopodobieństwo wynosi 14\frac{1}{4}. Zatem 1−14=341-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

PYTANIE 04

Ani razu 11

Jakie jest prawdopodobieństwo, że ani razu nie wypadnie 11?

A

136\frac{1}{36}

B

1036\frac{10}{36}

C

2536\frac{25}{36}

D

3536\frac{35}{36}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

2536\frac{25}{36}

W każdym rzucie jest 55 wyników innych niż 11, więc 5⋅536=2536\frac{5\cdot5}{36}=\frac{25}{36}.

NA KONIEC

Najważniejsze metody

Zdarzenie przeciwne A′A' zawiera wyniki z Ω\Omega, które nie należą do AA. Zawsze zachodzi P(A)+P(A′)=1P(A)+P(A')=1. W zadaniach „co najmniej jeden” szukaj prostego przeciwieństwa: „ani jeden”.