Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · LEKCJA 4 Z 5

Prawdopodobieństwo w zadaniach z kostkami, monetami i kartami

Prawdopodobieństwo

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Zastosujesz model klasyczny w trzech typowych sytuacjach maturalnych: rzutach monetą, rzutach kostkami i losowaniu kart. W każdej z nich najpierw policzysz wszystkie wyniki, a dopiero potem wyniki spełniające warunek.

Na start

monety: ciągi orłów i reszek

kostki: uporządkowane pary i sumy oczek

karty: kolory, wartości i część wspólna warunków

Po tej lekcji:
  • policzysz zadania z monetami
  • użyjesz tabeli dla dwóch kostek
  • policzysz proste zdarzenia z talii kart
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kilka rzutów monetą pokazuje drzewo

Każdy rzut uczciwą monetą ma dwa wyniki. Przy trzech rzutach powstaje 23=82^3=8 ciągów.

Drzewo trzech rzutów monetą z ośmioma końcowymi wynikami.
Drzewo trzech rzutów monetą z ośmioma końcowymi wynikami.

dokładnie dwa orły: OOR,ORO,ROOOOR,ORO,ROO

P(A)=38P(A)=\frac{3}{8}

Wskazówka

Nie licz tylko układu OOROOR. Reszka może być na różnych miejscach.

02WYJAŚNIENIE

Przy dwóch kostkach kolejność ma znaczenie

Wyniki (2,5)(2,5) i (5,2)(5,2) są różne, choć mają tę samą sumę. Dlatego dla dwóch kostek liczymy uporządkowane pary.

Tabela 6 na 6 z zaznaczonymi sześcioma komórkami dającymi sumę 7.
Tabela 6 na 6 z zaznaczonymi sześcioma komórkami dającymi sumę 7.

∣Ω∣=36|\Omega|=36

suma 77: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

P(A)=636=16P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}

03WYJAŚNIENIE

Sumy oczek nie są jednakowo prawdopodobne

Sumy od 22 do 1212 nie mają równych szans. Suma 22 powstaje na jeden sposób, a suma 77 na sześć sposobów.

Wykres liczby sposobów uzyskania sum od 2 do 12 na dwóch kostkach.
Wykres liczby sposobów uzyskania sum od 2 do 12 na dwóch kostkach.

suma 44: (1,3),(2,2),(3,1)(1,3),(2,2),(3,1)

suma 1010: (4,6),(5,5),(6,4)(4,6),(5,5),(6,4)

obie mają prawdopodobieństwo 336=112\frac{3}{36}=\frac{1}{12}

Wskazówka

Nie traktuj jedenastu możliwych sum jako jedenastu jednakowo prawdopodobnych wyników.

04WYJAŚNIENIE

Warunek „co najmniej” przy kostkach

Warunek „suma co najmniej 1010” oznacza sumy 1010, 1111 i 1212.

suma 1010: 33 pary

suma 1111: 22 pary

suma 1212: 11 para

P(A)=3+2+136=16P(A)=\frac{3+2+1}{36}=\frac{1}{6}

05WYJAŚNIENIE

Standardowa talia ma 5252 karty

W standardowej talii są cztery kolory po 1313 kart. Kier i karo są czerwone, a pik i trefl czarne.

Cztery kolory talii po 13 kart i 52 karty łącznie.
Cztery kolory talii po 13 kart i 52 karty łącznie.

kart czerwonych jest 2626

kart czarnych jest 2626

asów, królów, dam i waletów jest po 44

06WYJAŚNIENIE

Jedna karta: licz karty spełniające warunek

Przy losowaniu jednej karty z pełnej talii mianownik wynosi zwykle 5252. Licznik zależy od warunku.

as: P(A)=452=113P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}

czerwona karta: P(B)=2652=12P(B)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}

nie as: 1−113=12131-\frac{1}{13}=\frac{12}{13}

07WYJAŚNIENIE

Warunek „król lub kier” ma część wspólną

Jeśli dodajesz dwie grupy kart, sprawdź, czy jakaś karta spełnia oba warunki. Król kier jest jednocześnie królem i kierem.

Diagram Venna dla królów i kierów z królem kier w części wspólnej.
Diagram Venna dla królów i kierów z królem kier w części wspólnej.

królów jest 44

kierów jest 1313

król kier został policzony dwa razy, więc 4+13−1=164+13-1=16

P(A)=1652=413P(A)=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Trzy orły

Prawdopodobieństwo otrzymania trzech orłów wynosi:

A

13\frac{1}{3}

B

14\frac{1}{4}

C

18\frac{1}{8}

D

38\frac{3}{8}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

18\frac{1}{8}

Przy trzech rzutach jest 23=82^3=8 wyników i tylko jeden z nich to OOOOOO.

PYTANIE 02

Suma 1212

Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 1212?

A

16\frac{1}{6}

B

112\frac{1}{12}

C

118\frac{1}{18}

D

136\frac{1}{36}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: D

136\frac{1}{36}

Suma 1212 występuje tylko dla pary (6,6)(6,6), czyli w jednym z 3636 wyników.

PYTANIE 03

Król z talii

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania króla?

A

14\frac{1}{4}

B

113\frac{1}{13}

C

413\frac{4}{13}

D

152\frac{1}{52}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

113\frac{1}{13}

Są 44 króle spośród 5252 kart, więc 452=113\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.

PYTANIE 04

Czerwone karty

Ile kart w standardowej talii 5252 kart jest czerwonych?

A

1313

B

2626

C

3939

D

5252

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

2626

Kier i karo mają po 1313 kart, więc czerwonych kart jest 2626.

PYTANIE 05

Suma 55

Ile wyników daje sumę 55?

A

22

B

33

C

44

D

55

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

44

Są to (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), czyli 44 wyniki.

NA KONIEC

Najważniejsze metody

Przy nn rzutach monetą jest 2n2^n wyników, a przy dwóch kostkach 3636 uporządkowanych par. Sumy oczek nie są jednakowo prawdopodobne. Standardowa talia ma 5252 karty, po 1313 w każdym kolorze.