Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Kombinatoryka, prawdopodobieństwo i statystyka · LEKCJA 2 Z 5

Model klasyczny prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Przejdziesz od wypisywania wyników do obliczania prawdopodobieństwa. Nauczysz się policzyć wszystkie jednakowo prawdopodobne wyniki, wybrać wyniki sprzyjające zdarzeniu i zapisać ich stosunek jako ułamek.

Na start

mianownik: wszystkie jednakowo prawdopodobne wyniki

licznik: wyniki sprzyjające zdarzeniu

wynik skracamy dopiero na końcu

Po tej lekcji:
  • obliczysz prawdopodobieństwo w modelu klasycznym
  • policzysz wyniki sprzyjające i wszystkie
  • sprawdzisz zakres od 0 do 1
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Najpierw licz wyniki, dopiero potem dziel

Jeśli wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne, prawdopodobieństwo zdarzenia AA jest ilorazem liczby wyników sprzyjających i liczby wszystkich wyników.

Sześć wyników kostki z wyróżnionymi wynikami parzystymi 2, 4, 6.
Sześć wyników kostki z wyróżnionymi wynikami parzystymi 2, 4, 6.

Zapis ∣A∣|A| oznacza liczbę elementów zbioru AA, a ∣Ω∣|\Omega| liczbę wszystkich wyników. W tym modelu zbiór wyników jest skończony i niepusty. Kreski oznaczają tutaj liczebność zbioru, a nie wartość bezwzględną liczby.

P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

dla liczby parzystej na kostce: P(A)=36=12P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

02WYJAŚNIENIE

Model klasyczny wymaga równych szans

Wzór działa wtedy, gdy każdy wynik elementarny z Ω\Omega ma taką samą szansę. Tak jest dla uczciwej monety, uczciwej kostki albo losowania jednej kartki z dobrze wymieszanej puli.

kartki z liczbami 2,5,82,5,8: ∣Ω∣=3|\Omega|=3

większe niż 44: 5,85,8, więc ∣A∣=2|A|=2

P(A)=23P(A)=\frac{2}{3}

Wskazówka

Jeśli wyniki nie mają równych szans, samo liczenie rodzajów wyników może dać błędny wynik.

03WYJAŚNIENIE

Prawdopodobieństwo mieści się między 00 i 11

Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 00, a zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo 11. Każde inne prawdopodobieństwo leży pomiędzy nimi.

0≤P(A)≤10\leq P(A)\leq 1

P(∅)=0P(\varnothing)=0

P(Ω)=1P(\Omega)=1

Zapamiętaj

Wynik ujemny albo większy od 11 oznacza błąd w modelu lub rachunku.

04WYJAŚNIENIE

Losowanie liczby ze zbioru

Losujemy jedną liczbę ze zbioru od 1 do 10. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej? W zadaniach z losowaniem liczb najpierw policz wszystkie liczby w zbiorze, a potem te spełniające warunek.

losujemy ze zbioru {1,2,3,…,10}\{1,2,3,\ldots,10\}, więc ∣Ω∣=10|\Omega|=10

liczby pierwsze: 2,3,5,72,3,5,7, więc ∣A∣=4|A|=4

P(A)=410=25P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

Wskazówka

Liczba 11 nie jest liczbą pierwszą.

05WYJAŚNIENIE

Dwa rzuty monetą dają cztery wyniki

Przy dwóch rzutach monetą pełny wynik jest parą. Dla uczciwej monety cztery wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Tabela 2 na 2 z wynikami dwóch rzutów monetą.
Tabela 2 na 2 z wynikami dwóch rzutów monetą.

Ω={(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)}\Omega=\{(O,O),(O,R),(R,O),(R,R)\}

dokładnie jeden orzeł: (O,R),(R,O)(O,R),(R,O)

P(A)=24=12P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Wskazówka

„Dokładnie jeden orzeł” nie obejmuje wyniku z dwoma orłami.

06WYJAŚNIENIE

Przy dwóch kostkach wygodna jest tabela

Rzut dwiema kostkami zapisujemy jako parę (a,b)(a,b). Każda kostka ma 66 możliwości, więc razem jest 3636 uporządkowanych wyników.

Tabela 6 na 6 wyników dwóch kostek z kilkoma przykładowymi parami.
Tabela 6 na 6 wyników dwóch kostek z kilkoma przykładowymi parami.

∣Ω∣=6⋅6=36|\Omega|=6\cdot6=36

dublet: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

P(A)=636=16P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}

07WYJAŚNIENIE

Ułamek skracaj na końcu

Najpierw zbuduj poprawny ułamek z licznika i mianownika. Dopiero potem skróć go do najprostszej postaci.

losów wszystkich: 1212

losów wygrywających: 88

P(A)=812=23P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Kostka: większe niż 33

Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej niż 33 wynosi:

A

13\frac{1}{3}

B

12\frac{1}{2}

C

23\frac{2}{3}

D

56\frac{5}{6}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: B

12\frac{1}{2}

Wyniki większe niż 33 to 4,5,64,5,6, czyli 36=12\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.

PYTANIE 02

Podzielne przez 44

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 44?

A

14\frac{1}{4}

B

13\frac{1}{3}

C

12\frac{1}{2}

D

34\frac{3}{4}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

14\frac{1}{4}

Liczby podzielne przez 44 to 4,8,124,8,12, więc 312=14\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.

PYTANIE 03

Dwie reszki

Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch reszek wynosi:

A

12\frac{1}{2}

B

13\frac{1}{3}

C

14\frac{1}{4}

D

34\frac{3}{4}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

14\frac{1}{4}

Spośród czterech wyników tylko (R,R)(R,R) daje dwie reszki, więc prawdopodobieństwo wynosi 14\frac{1}{4}.

PYTANIE 04

Jedna para kostek

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania pary (2,5)(2,5)?

A

16\frac{1}{6}

B

112\frac{1}{12}

C

118\frac{1}{18}

D

136\frac{1}{36}

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: D

136\frac{1}{36}

Jest 3636 uporządkowanych par i tylko jedna z nich to (2,5)(2,5).

NA KONIEC

Najważniejsze kroki

Model klasyczny stosujemy dla jednakowo prawdopodobnych wyników. Najpierw liczymy ∣Ω∣|\Omega|, potem ∣A∣|A|, a następnie zapisujemy P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}. Wynik powinien leżeć między 00 i 11.