Prawdopodobieństwo z wykorzystaniem kombinatoryki

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W prostych zadaniach można wypisać wyniki. Przy większych liczbach trzeba je policzyć kombinatorycznie. Nauczysz się używać reguły mnożenia, rozpoznawać znaczenie kolejności i stosować kombinacje we wzorze na prawdopodobieństwo.

Na start

kombinatoryka odpowiada na pytanie: ile jest możliwości

prawdopodobieństwo porównuje możliwości sprzyjające ze wszystkimi

Po tej lekcji:

użyjesz reguły mnożenia w prawdopodobieństwie
rozpoznasz wybór z kolejnością i bez kolejności
zastosujesz kombinacje

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Reguła mnożenia liczy doświadczenia wieloetapowe

Jeśli wynik powstaje przez kilka kolejnych etapów, liczby możliwości na etapach mnożymy.

Drzewo z trzema możliwościami pierwszego etapu i dwiema możliwościami drugiego etapu.

moneta i kostka: $2\cdot6=12$ wyników

cztery rzuty monetą: $2^4=16$

trzy rzuty kostką: $6^3=216$

02WYJAŚNIENIE

Czy kolejność ma znaczenie?

Zanim wybierzesz metodę liczenia, sprawdź, czy zamiana kolejności tworzy nowy wynik. W ciągach rzutów kolejność ma znaczenie, a przy wyborze pary osób zwykle nie ma.

Porównanie ciągów monet, gdzie kolejność ma znaczenie, i par osób, gdzie A,B oraz B,A oznaczają tę samą parę.

Wskazówka

Nie używaj kombinacji, jeśli kolejność jest częścią wyniku.

03WYJAŚNIENIE

Kombinacja liczy wybory bez kolejności

Jeśli wybieramy $k$ elementów spośród $n$ i kolejność wybranych elementów nie ma znaczenia, używamy liczby kombinacji. Wybieramy różne elementy bez zwracania, a $0\le k\le n$ . Przyjmujemy $0!=1$ . Dlaczego dzielimy przez $k!$ ? Przy wyborze dwóch osób liczenie $5\cdot4$ uwzględnia każdą parę dwa razy: np. Ania–Bartek i Bartek–Ania. Dzielenie przez $2!=2$ usuwa te powtórzenia. Dla $k$ osób każdy zestaw zostałby policzony $k!$ razy.

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

symbol $n!$ oznacza iloczyn kolejnych liczb od $1$ do $n$

$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$

dwie osoby z pięciu: $\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10$

04WYJAŚNIENIE

Dokładnie $k$ sukcesów: wybieramy miejsca

Jeśli w $n$ rzutach monetą ma wypaść dokładnie $k$ orłów, wybieramy miejsca, na których stoją orły.

Pięć pozycji rzutów monetą z dwoma zaznaczonymi miejscami orłów.

$\text{liczba wyników z dokładnie }k\text{ orłami}=\binom{n}{k}$

dokładnie dwa orły w pięciu rzutach: $\binom{5}{2}=10$

05WYJAŚNIENIE

Kombinacje dają licznik, reguła mnożenia mianownik

Rzucamy monetą pięć razy. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów? W jednym zadaniu licznik i mianownik mogą pochodzić z różnych metod: wszystkich ciągów jest $2^5$ , a ciągów z dokładnie dwoma orłami jest $\binom{5}{2}$ .

$P(A)=\frac{\binom{5}{2}}{2^5}$

$|\Omega|=2^5=32$

$|A|=\binom{5}{2}=10$

$P(A)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}$

Zapamiętaj

Najpierw osobno policz $|\Omega|$ i $|A|$ .

06WYJAŚNIENIE

Losowanie kilku elementów bez kolejności

Jeśli jednocześnie losujemy kilka elementów i nie interesuje nas kolejność ich wyciągnięcia, liczymy zestawy kombinacjami.

trzy kartki z ośmiu: $\binom{8}{3}$

$\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56$

dwie karty z talii: $\binom{52}{2}$

dwa asy z czterech: $\binom{4}{2}$

Wskazówka

Jeśli zadanie rozróżnia pierwszy, drugi i trzeci element, kombinacja może nie być właściwą metodą.

07WYJAŚNIENIE

Wybór osób z dwóch grup

Jeśli chcemy wybrać określoną liczbę osób z każdej grupy, wybory z grup liczymy osobno i mnożymy.

Wybór dwóch osób z grupy pięciu D i jednej osoby z grupy czterech C.

Losujemy równomiernie trzyosobową grupę spośród pięciu dziewcząt i czterech chłopców. Szukamy prawdopodobieństwa, że w grupie będą dokładnie dwie dziewczęta i jeden chłopiec.

wszystkie trójki z dziewięciu osób: $\binom{9}{3}=84$

dwie dziewczęta z pięciu: $\binom{5}{2}=10$

jeden chłopiec z czterech: $\binom{4}{1}=4$

$P(A)=\frac{10\cdot4}{84}=\frac{10}{21}$

08WYJAŚNIENIE

Najpierw wybierz model liczenia

Najwięcej błędów powstaje przed rachunkami. Najpierw ustal, czy wynik jest uporządkowany, czy jest tylko wyborem zestawu.

kolejne rzuty monetą lub kostką: kolejność ma znaczenie

kod z kilku cyfr: kolejność ma znaczenie

komisja z grupy osób: kolejność nie ma znaczenia

jednoczesny wybór kilku kart: zwykle kolejność nie ma znaczenia

dokładnie jeden orzeł w czterech rzutach: $\frac{\binom{4}{1}}{2^4}=\frac{1}{4}$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pięć rzutów monetą

Rzucamy pięć razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników?

$10$

$16$

$25$

$32$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$32$

Każdy rzut ma $2$ wyniki, więc $2^5=32$ .

PYTANIE 02

Wybór dwóch osób

Na ile sposobów można wybrać $2$ osoby z grupy $6$ osób?

$8$

$12$

$15$

$30$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$15$

$\binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15$ .

PYTANIE 03

Dokładnie dwa orły

Ile wyników zawiera dokładnie dwa orły?

$4$

$6$

$8$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

Wybieramy $2$ pozycje orłów spośród $4$ , więc $\binom{4}{2}=6$ .

PYTANIE 04

Prawdopodobieństwo dwóch orłów

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów?

$\frac{1}{4}$

$\frac{3}{8}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{5}{8}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{3}{8}$

Wszystkich wyników jest $2^4=16$ , a wyników z dwoma orłami $\binom{4}{2}=6$ . Zatem $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$ .

PYTANIE 05

Trójki z $7$ osób

Z $7$ osób losowo wybieramy $3$ . Ile jest możliwych trójek?

$21$

$28$

$35$

$210$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$35$

$\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody

Reguła mnożenia liczy kolejne etapy, na przykład $2^n$ wyników dla $n$ rzutów monetą. Gdy wybierasz $k$ elementów spośród $n$ bez kolejności, używasz $\binom{n}{k}$ . W prawdopodobieństwie osobno policz wyniki wszystkie i sprzyjające.

Co będzie w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Reguła mnożenia liczy doświadczenia wieloetapowe

Czy kolejność ma znaczenie?

Kombinacja liczy wybory bez kolejności

Dokładnie kkk sukcesów: wybieramy miejsca

Kombinacje dają licznik, reguła mnożenia mianownik

Losowanie kilku elementów bez kolejności

Wybór osób z dwóch grup

Najpierw wybierz model liczenia

Teraz Twoja kolej

Pięć rzutów monetą

Wybór dwóch osób

Dokładnie dwa orły

Prawdopodobieństwo dwóch orłów

Trójki z 777 osób

Najważniejsze metody

Dokładnie $k$ sukcesów: wybieramy miejsca

Trójki z $7$ osób