Prawa działań na potęgach

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się upraszczać potęgi bez rozpisywania długich iloczynów. Każde prawo połączysz z decyzją: czy podstawy są takie same, czy potęgujesz potęgę, iloczyn albo iloraz.

Na start

Przy mnożeniu tych samych podstaw dodajesz wykładniki.

Przy dzieleniu tych samych podstaw odejmujesz wykładniki.

Przy potęgowaniu potęgi mnożysz wykładniki.

Po tej lekcji:

zastosujesz prawa potęg do upraszczania wyrażeń
odróżnisz mnożenie, dzielenie i potęgowanie potęgi
unikniesz fałszywego rozdzielania potęgi na sumę

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie, łączysz wszystkie takie same czynniki w jeden iloczyn. Dlatego wykładniki się dodają.

Dwie grupy czynników dwa łączą się w siedem czynników.

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Dodawanie wykładników

Uprość $2^3\cdot2^4$ .

Rozwiązanie

Razem mamy siedem czynników równych $2$ , więc $2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$ .

Zapamiętaj

Podstawy muszą być takie same.

02WYJAŚNIENIE

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Przy dzieleniu część takich samych czynników skraca się z licznika i mianownika. Dlatego od wykładnika w liczniku odejmujemy wykładnik z mianownika.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad a\ne0$

Odejmowanie wykładników

Uprość $\frac{5^6}{5^2}$ .

Rozwiązanie

Dwa czynniki z mianownika skracają się z dwoma z licznika. Zostają cztery czynniki $5$ , więc $\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4$ .

Wskazówka

Nie odejmujemy podstaw. Podstawa zostaje taka sama.

03WYJAŚNIENIE

Gdy zostaje mianownik

Jeśli w mianowniku jest więcej czynników, po odjęciu wykładnik wychodzi ujemny. Taki zapis zamieniamy na ułamek z dodatnim wykładnikiem.

$\frac{a^2}{a^5}=a^{-3}=\frac{1}{a^3}$

Więcej czynników w mianowniku

Uprość $\frac{3^2}{3^5}$ .

Rozwiązanie

$\frac{3^2}{3^5}=3^{2-5}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$ .

Zapamiętaj

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

04WYJAŚNIENIE

Potęgowanie potęgi

Gdy potęgujesz potęgę, powtarzasz całą potęgę jako czynnik. Wtedy wykładniki się mnożą.

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Mnożenie wykładników

Uprość $(2^3)^4$ .

Rozwiązanie

$(2^3)^4=2^{3\cdot4}=2^{12}$ . Cztery razy powtarzamy potęgę o wykładniku $3$ .

Wskazówka

Tutaj nie dodajemy wykładników, bo nie mnożymy dwóch osobnych potęg.

05WYJAŚNIENIE

Iloczyn, iloraz i suma

Potęga rozdziela się na czynniki iloczynu i na licznik oraz mianownik ułamka. Nie rozdziela się tak na składniki sumy.

Potęgowanie ułamka pokazane jako osobne potęgowanie licznika i mianownika.

$(ab)^n=a^{n}\cdot b^n$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\ne0$

$(a+b)^2\ne a^2+b^2$

Kwadrat iloczynu i ułamka

Uprość $(3x)^2$ i oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^3$ .

Rozwiązanie

$(3x)^2=3^{2}x^2=9x^2$ oraz $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$ .

Wskazówka

W zapisie $(3x)^2$ do kwadratu podnosimy także liczbę $3$ .

06WYJAŚNIENIE

Łączenie kilku praw

W zadaniach maturalnych często trzeba użyć kilku praw po kolei. Najpierw upraszczaj nawiasy z potęgą, potem mnożenie i dzielenie.

Trzy prawa w jednym rachunku

Uprość $\frac{(2^3)^2\cdot2^4}{2^5}$ .

Rozwiązanie

$(2^3)^2=2^6$ , więc $\frac{(2^3)^2\cdot2^4}{2^5}=\frac{2^6\cdot2^4}{2^5}=\frac{2^{10}}{2^5}=2^5=32$ .

Zapamiętaj

Kolejność: potęga potęgi, mnożenie, dzielenie.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Uprość $x^4\cdot x^3$ .

$x^7$

$x^{12}$

$2x^7$

$x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$x^7$

$x^4\cdot x^3=x^{4+3}=x^7$ .

PYTANIE 02

Uprość $\frac{a^9}{a^4}$ , gdzie $a\ne0$ .

$a^{13}$

$a^5$

$a^{-5}$

$1$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a^5$

$\frac{a^9}{a^4}=a^{9-4}=a^5$ .

PYTANIE 03

Uprość $(y^2)^5$ .

$y^7$

$y^{10}$

$y^{25}$

$2y^5$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$y^{10}$

$(y^2)^5=y^{2\cdot5}=y^{10}$ .

PYTANIE 04

Które przekształcenie jest niepoprawne?

$2^3\cdot2^5=2^8$

$(3^2)^4=3^8$

$(ab)^2=a^{2}b^2$

$(a+b)^2=a^2+b^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$(a+b)^2=a^2+b^2$

Potęgi nie rozdzielamy na składniki sumy: $(a+b)^2\ne a^2+b^2$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Prawa potęg działają wtedy, gdy rozpoznasz właściwy typ działania. Przy tych samych podstawach pracujesz na wykładnikach, przy nawiasie patrzysz, czy potęgujesz potęgę, iloczyn czy iloraz.

Zapamiętaj

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

$(a^m)^n=a^{mn}$

$(ab)^n=a^{n}b^n$

$(a+b)^2\ne a^2+b^2$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

Gdy zostaje mianownik

Potęgowanie potęgi

Iloczyn, iloraz i suma

Łączenie kilku praw

Teraz Twoja kolej

Uprość x4⋅x3x^4\cdot x^3x4⋅x3.

Uprość a9a4\frac{a^9}{a^4}a4a9​, gdzie a≠0a\ne0a=0.

Uprość (y2)5(y^2)^5(y2)5.

Które przekształcenie jest niepoprawne?

Co trzeba zapamiętać?

Uprość $x^4\cdot x^3$ .

Uprość $\frac{a^9}{a^4}$ , gdzie $a\ne0$ .

Uprość $(y^2)^5$ .