Potęga o wykładniku ujemnym

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Zobaczysz, że minus w wykładniku nie robi z wyniku liczby ujemnej. Taki minus mówi o odwrotności, czyli o przeniesieniu potęgi na drugą stronę kreski ułamkowej.

Na start

Ujemny wykładnik daje odwrotność.

Przy ułamku odwracasz licznik z mianownikiem.

Nawias nadal decyduje o znaku podstawy.

Po tej lekcji:

zamienisz ujemny wykładnik na odwrotność
obliczysz potęgi ułamków z ujemnym wykładnikiem
odróżnisz ujemny wykładnik od ujemnej podstawy

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Skąd bierze się ujemny wykładnik?

Ujemny wykładnik pojawia się naturalnie przy dzieleniu potęg, gdy w mianowniku zostaje więcej takich samych czynników.

$\frac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$

$\frac{2^3}{2^5}=\frac{1}{2^2}$

Skracanie czynników

Wyjaśnij, dlaczego $2^{-2}=\frac{1}{4}$ .

Rozwiązanie

Ten sam iloraz można zapisać jako $2^{-2}$ albo jako $\frac{1}{2^2}$ . Ponieważ $2^2=4$ , mamy $2^{-2}=\frac{1}{4}$ .

02WYJAŚNIENIE

Główna zasada

Jeśli podstawa jest różna od zera, potęga z wykładnikiem ujemnym jest odwrotnością potęgi z wykładnikiem dodatnim.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0$

Minus w wykładniku

Oblicz $5^{-2}$ .

Rozwiązanie

$5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$ . Wynik jest dodatnim ułamkiem, bo minus w wykładniku oznacza odwrotność.

Wskazówka

$5^{-2}\ne -25$

03WYJAŚNIENIE

Ujemny wykładnik przy ułamku

Gdy ujemny wykładnik stoi przy całym ułamku w nawiasie, najpierw odwracasz ułamek, a potem potęgujesz z dodatnim wykładnikiem.

Ujemny wykładnik odwraca ułamek, a potem zmienia się na dodatni.

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n,\quad a\ne0,\ b\ne0$

Odwrócenie ułamka

Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$ .

Rozwiązanie

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$ .

04WYJAŚNIENIE

Przenoszenie przez kreskę

Czynnik z ujemnym wykładnikiem można przenieść na drugą stronę kreski ułamkowej. Zmienia się znak wykładnika, nie znak podstawy.

$\frac{1}{a^{-n}}=a^n$

$\frac{a^{-m}}{b^{-n}}=\frac{b^n}{a^m}$

Dwa czynniki do przeniesienia

Uprość $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ , gdzie $x\ne0$ i $y\ne0$ .

Rozwiązanie

Czynnik $x^{-3}$ przechodzi do mianownika jako $x^3$ , a $y^{-2}$ do licznika jako $y^2$ . Wynik: $\frac{y^2}{x^3}$ .

Wskazówka

$x^{-3}\ne -x^3$

05WYJAŚNIENIE

Ujemna podstawa i ujemny wykładnik

Minus w podstawie wpływa na znak wyniku. Minus w wykładniku odpowiada za odwrotność. Te dwie rzeczy trzeba rozdzielić.

Nieparzysty i parzysty wykładnik

Oblicz $(-2)^{-3}$ oraz $(-2)^{-4}$ .

Rozwiązanie

$(-2)^{-3}=\frac{1}{(-2)^3}=-\frac{1}{8}$ , a $(-2)^{-4}=\frac{1}{(-2)^4}=\frac{1}{16}$ .

Zapamiętaj

$(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$

$(-2)^{-4}=\frac{1}{16}$

06WYJAŚNIENIE

Nawiasy i potęgi dziesiątki

Nawias nadal decyduje, czy minus należy do podstawy. Potęgi dziesiątki z ujemnym wykładnikiem dają małe liczby dziesiętne.

$(-3)^{-2}=\frac{1}{9}$

$-3^{-2}=-\frac{1}{9}$

$10^{-1}=0{,}1$

$10^{-2}=0{,}01$

$10^{-3}=0{,}001$

Mała potęga dziesiątki

Zapisz $10^{-5}$ jako liczbę dziesiętną.

Rozwiązanie

$10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{100000}=0{,}00001$ .

Wskazówka

W zapisie $10^{-n}$ cyfra $1$ trafia na $n$ -te miejsce po przecinku.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $2^{-4}$ ?

$-16$

$-\frac{1}{16}$

$\frac{1}{16}$

$16$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\frac{1}{16}$

$2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ ?

$\frac{9}{25}$

$\frac{25}{9}$

$-\frac{9}{25}$

$-\frac{25}{9}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{25}{9}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$ .

PYTANIE 03

Który zapis jest równy $x^{-5}$ , gdzie $x\ne0$ ?

$-x^5$

$\frac{1}{x^5}$

$\frac{1}{-x^5}$

$5x$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{1}{x^5}$

$x^{-5}=\frac{1}{x^5}$ . Ujemny wykładnik oznacza odwrotność.

PYTANIE 04

Ile wynosi $10^{-3}$ ?

$1000$

$0{,}1$

$0{,}01$

$0{,}001$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$0{,}001$

$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0{,}001$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie automatycznie ujemny wynik. Przy ułamku odwracasz ułamek, przy czynniku możesz przenieść go przez kreskę ułamkową, a przy ujemnej podstawie osobno pilnujesz nawiasu i parzystości wykładnika.

Zapamiętaj

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$

$10^{-3}=0{,}001$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Skąd bierze się ujemny wykładnik?

Główna zasada

Ujemny wykładnik przy ułamku

Przenoszenie przez kreskę

Ujemna podstawa i ujemny wykładnik

Nawiasy i potęgi dziesiątki

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi 2−42^{-4}2−4?

Ile wynosi (35)−2\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}(53​)−2?

Który zapis jest równy x−5x^{-5}x−5, gdzie x≠0x\ne0x=0?

Ile wynosi 10−310^{-3}10−3?

Co trzeba zapamiętać?

Ile wynosi $2^{-4}$ ?

Ile wynosi $\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ ?

Który zapis jest równy $x^{-5}$ , gdzie $x\ne0$ ?

Ile wynosi $10^{-3}$ ?