Potęga o wykładniku naturalnym i całkowitym

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się czytać zapis potęgi, rozpoznawać podstawę i wykładnik oraz liczyć potęgi bez mylenia ich ze zwykłym mnożeniem. Osobno przećwiczysz znaki przy liczbach ujemnych, bo nawias może zmienić wynik.

Na start

Podstawa mówi, jaką liczbę mnożysz.

Wykładnik mówi, ile razy ta liczba występuje jako czynnik.

Minus przy podstawie trzeba czytać razem z nawiasem.

Po tej lekcji:

odczytasz podstawę i wykładnik potęgi
obliczysz proste potęgi liczb dodatnich i ujemnych
rozróżnisz wykładnik dodatni, zerowy i ujemny

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co oznacza zapis $2^4$ ?

Potęga $2^4$ oznacza cztery czynniki równe $2$ . Wykładnik nie mówi, przez ile mnożymy podstawę. Mówi, ile razy powtarzamy ją w iloczynie.

Potęga dwa do czwartej pokazana jako cztery czynniki dwa.

$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$

$a^n$ to $n$ czynników równych $a$

Obliczanie potęgi

Oblicz $3^4$ .

Rozwiązanie

Podstawą jest $3$ , a wykładnikiem $4$ . Liczymy $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$ .

Zapamiętaj

Najpierw ustal podstawę, dopiero potem licz.

02WYJAŚNIENIE

Potęga to nie $a\cdot n$

Zapis $5^3$ nie oznacza $5\cdot3$ . Wykładnik tworzy powtarzane mnożenie tej samej podstawy.

$5^3=5\cdot5\cdot5=125$

Błędny wynik z mnożenia

Uczeń zapisał $4^3=12$ . Wyjaśnij błąd.

Rozwiązanie

W zapisie $4^3$ są trzy czynniki równe $4$ , więc $4^3=4\cdot4\cdot4=64$ . Wynik $12$ pochodzi z błędnego rachunku $4\cdot3$ .

Wskazówka

Nie zamieniaj potęgowania na mnożenie podstawy przez wykładnik.

03WYJAŚNIENIE

Potęgi liczby $10$

Przy dodatnim wykładniku potęga dziesiątki ma jedynkę i tyle zer, ile wskazuje wykładnik. To przydaje się przy dużych liczbach i notacji wykładniczej.

$10^1=10$

$10^2=100$

$10^3=1000$

$10^6=1000000$

Liczba zer

Oblicz $10^6$ .

Rozwiązanie

Wykładnik $6$ daje sześć zer po jedynce, więc $10^6=1000000$ .

Zapamiętaj

$10^n$ ma $n$ zer dla dodatniego naturalnego $n$ .

04WYJAŚNIENIE

Ujemna podstawa w nawiasie

Jeśli liczba ujemna jest w nawiasie, cała ta liczba jest podstawą. Parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, a nieparzysta zostawia wynik ujemny.

Porównanie potęgi ujemnej podstawy z wykładnikiem parzystym i nieparzystym.

$(-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16$

$(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$

Parzysty i nieparzysty wykładnik

Oblicz $(-3)^2$ oraz $(-3)^3$ .

Rozwiązanie

$(-3)^2=9$ , bo mnożymy dwa minusy. Dalej $(-3)^3=-27$ , bo po trzech czynnikach zostaje znak minus.

Zapamiętaj

$(-a)^{\text{parzyste}}$ daje wynik dodatni.

$(-a)^{\text{nieparzyste}}$ daje wynik ujemny.

05WYJAŚNIENIE

Różnica między $(-2)^4$ i $-2^4$

Nawias decyduje, czy minus należy do podstawy. Bez nawiasu potęgujemy tylko liczbę dodatnią, a minus stoi przed wynikiem.

$(-2)^4=16$

$-2^4=-(2^4)=-16$

Ten sam kwadrat, inny znak

Oblicz $(-5)^2$ oraz $-5^2$ .

Rozwiązanie

$(-5)^2=25$ , bo potęgujemy całą liczbę $-5$ . Natomiast $-5^2=-(5^2)=-25$ .

Wskazówka

Jeśli minus ma być potęgowany, musi być w nawiasie.

06WYJAŚNIENIE

Wykładnik zerowy i ujemny

Dla podstawy różnej od zera wykładnik zerowy daje $1$ . Wykładnik ujemny nie oznacza ujemnego wyniku, tylko odwrotność potęgi. Widać to przy zmniejszaniu wykładnika o jeden: za każdym razem dzielimy przez podstawę. Dla dwójki: $2^2=4$ , $2^1=2$ , $2^0=1$ , $2^{-1}=\frac12$ .

$a^0=1,\quad a\ne0$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0$

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Trzy typy wykładnika

Oblicz $2^3$ , $2^0$ i $2^{-3}$ .

Rozwiązanie

$2^3=8$ , $2^0=1$ , a $2^{-3}=\frac{1}{8}$ .

Wskazówka

Zapis z ujemnym wykładnikiem dokładniej przećwiczysz w następnej lekcji.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $4^3$ ?

$7$

$12$

$64$

$81$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$64$

$4^3=4\cdot4\cdot4=64$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $(-2)^5$ ?

$-32$

$-10$

$10$

$32$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$-32$

Wykładnik jest nieparzysty, więc wynik jest ujemny: $(-2)^5=-32$ .

PYTANIE 03

Która równość jest prawdziwa?

$-3^2=9$

$(-3)^2=-9$

$(-3)^2=9$

$3^0=0$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(-3)^2=9$

$(-3)^2=9$ . Bez nawiasu $-3^2=-9$ , a $3^0=1$ .

PYTANIE 04

Ile wynosi $9^0$ ?

$0$

$1$

$9$

$90$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1$

Każda podstawa różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Potęga z wykładnikiem naturalnym oznacza powtarzane mnożenie tej samej podstawy. Nie jest mnożeniem podstawy przez wykładnik. Przy liczbie ujemnej nawias decyduje, czy minus jest częścią podstawy. Dla podstawy różnej od zera wykładnik zerowy daje $1$ , a wykładnik ujemny prowadzi do odwrotności.

Zapamiętaj

$a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$

$a^0=1,\quad a\ne0$

$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne0$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Co oznacza zapis 242^424?

Potęga to nie a⋅na\cdot na⋅n

Potęgi liczby 101010

Ujemna podstawa w nawiasie

Różnica między (−2)4(-2)^4(−2)4 i −24-2^4−24

Wykładnik zerowy i ujemny

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi 434^343?

Ile wynosi (−2)5(-2)^5(−2)5?

Która równość jest prawdziwa?

Ile wynosi 909^090?

Co trzeba zapamiętać?

Co oznacza zapis $2^4$ ?

Potęga to nie $a\cdot n$

Potęgi liczby $10$

Różnica między $(-2)^4$ i $-2^4$

Ile wynosi $4^3$ ?

Ile wynosi $(-2)^5$ ?

Ile wynosi $9^0$ ?