Potęgi o wykładniku wymiernym

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się czytać zapisy z wykładnikiem ułamkowym. Taki wykładnik łączy dwie operacje: pierwiastkowanie i potęgowanie.

Na start

Mianownik wykładnika mówi o pierwiastku.

Licznik wykładnika mówi o potędze.

Przy ujemnej podstawie trzeba sprawdzić, czy zapis ma sens w liczbach rzeczywistych.

Po tej lekcji:

zamienisz wykładnik ułamkowy na pierwiastek
obliczysz proste potęgi o wykładniku wymiernym
rozpoznasz ograniczenia przy ujemnej podstawie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Wykładnik $\frac{1}{2}$ to pierwiastek kwadratowy

Zapis z wykładnikiem $\frac{1}{2}$ oznacza pierwiastek kwadratowy z podstawy, jeśli podstawa jest nieujemna.

Wykładnik jedna druga pokazany jako pierwiastek kwadratowy.

$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a},\quad a\ge0$

Pierwiastek zapisany potęgą

Oblicz $25^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie

$25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$ , bo $5^2=25$ .

02WYJAŚNIENIE

Wykładnik $\frac{1}{3}$ to pierwiastek sześcienny

Zapis z wykładnikiem $\frac{1}{3}$ oznacza pierwiastek trzeciego stopnia, czyli pierwiastek sześcienny.

$a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Pierwiastek sześcienny

Oblicz $8^{\frac{1}{3}}$ .

Rozwiązanie

$8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2$ , bo $2^3=8$ .

Zapamiętaj

Dolna liczba w pierwiastku odpowiada mianownikowi wykładnika.

03WYJAŚNIENIE

Wykładnik $\frac{m}{n}$

Mianownik wykładnika mówi, jaki pierwiastek bierzemy. Licznik mówi, do której potęgi podnosimy. Podane reguły bez dodatkowych zastrzeżeń stosujemy dla $a>0$ , całkowitego $m$ i naturalnego $n\ge2$ . Przy podstawie ujemnej najpierw skracamy ułamek wykładnika i sprawdzamy, czy jego mianownik jest nieparzysty.

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Najpierw pierwiastek, potem potęga

Oblicz $16^{\frac{3}{4}}$ .

Rozwiązanie

Mianownik $4$ daje pierwiastek czwartego stopnia: $\sqrt[4]{16}=2$ . Licznik $3$ daje potęgę: $2^3=8$ .

Zapamiętaj

Najczęściej wygodniej najpierw wyciągnąć pierwiastek.

04WYJAŚNIENIE

Dwie drogi do tego samego wyniku

W zapisie z wykładnikiem ułamkowym czasem możesz najpierw potęgować, a potem pierwiastkować. Zwykle krótszy rachunek daje pierwiastek na początku.

Porównanie metod

Oblicz $27^{\frac{2}{3}}$ dwiema metodami.

Rozwiązanie

Wygodnie: $27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$ . Druga droga też działa: $\sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{729}=9$ .

Wskazówka

Jeśli podstawa jest łatwą potęgą, zacznij od pierwiastka.

05WYJAŚNIENIE

Ujemny wykładnik wymierny

Jeśli wykładnik ułamkowy jest ujemny, najpierw użyj odwrotności, a potem policz dodatni wykładnik wymierny.

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}},\quad a>0$

Odwrotność i pierwiastek

Oblicz $8^{-\frac{2}{3}}$ .

Rozwiązanie

$8^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$ . Dalej $8^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$ , więc wynik to $\frac{1}{4}$ .

06WYJAŚNIENIE

Ujemna podstawa

Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje w liczbach rzeczywistych. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie ma wartości rzeczywistej.

Co ma sens w liczbach rzeczywistych?

Oblicz $(-8)^{\frac{1}{3}}$ i oceń $(-9)^{\frac{1}{2}}$ .

Rozwiązanie

$(-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2$ , bo $(-2)^3=-8$ . Natomiast $(-9)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-9}$ nie jest liczbą rzeczywistą.

Wskazówka

$\sqrt{-9}\ne -3$

07WYJAŚNIENIE

Zamiana pierwiastka na potęgę

Zapis pierwiastkowy i potęgowy często oznaczają tę samą wartość. Stopień pierwiastka trafia do mianownika wykładnika, a potęga pod pierwiastkiem do licznika.

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Od pierwiastka do wykładnika

Zapisz $\sqrt[3]{x^4}$ w postaci potęgi.

Rozwiązanie

Stopień pierwiastka $3$ trafia do mianownika, a potęga $4$ do licznika: $\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Ile wynosi $36^{\frac{1}{2}}$ ?

$3$

$6$

$18$

$72$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

$36^{\frac{1}{2}}=\sqrt{36}=6$ .

PYTANIE 02

Ile wynosi $81^{\frac{3}{4}}$ ?

$3$

$9$

$27$

$81$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$27$

$81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=3^3=27$ .

PYTANIE 03

Ile wynosi $16^{-\frac{1}{2}}$ ?

$-4$

$-\frac{1}{4}$

$\frac{1}{4}$

$4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$\frac{1}{4}$

$16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{16}}=\frac{1}{4}$ .

PYTANIE 04

Który zapis jest równy $\sqrt[3]{a^2}$ ?

$a^{\frac{3}{2}}$

$a^{\frac{2}{3}}$

$a^6$

$a^{2+3}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$a^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$ . Stopień pierwiastka trafia do mianownika.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Wykładnik ułamkowy łączy pierwiastek i potęgę. Mianownik mówi o stopniu pierwiastka, licznik o potędze. Ujemny wykładnik wymierny najpierw zamieniasz na odwrotność. Podane reguły stosujemy dla $a>0$ , całkowitego $m$ i naturalnego $n\ge2$ .

Zapamiętaj

$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$

$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Wykładnik 12\frac{1}{2}21​ to pierwiastek kwadratowy

Wykładnik 13\frac{1}{3}31​ to pierwiastek sześcienny

Wykładnik mn\frac{m}{n}nm​

Dwie drogi do tego samego wyniku

Ujemny wykładnik wymierny

Ujemna podstawa

Zamiana pierwiastka na potęgę

Teraz Twoja kolej

Ile wynosi 361236^{\frac{1}{2}}3621​?

Ile wynosi 813481^{\frac{3}{4}}8143​?

Ile wynosi 16−1216^{-\frac{1}{2}}16−21​?

Który zapis jest równy a23\sqrt[3]{a^2}3a2​?

Co trzeba zapamiętać?

Wykładnik $\frac{1}{2}$ to pierwiastek kwadratowy

Wykładnik $\frac{1}{3}$ to pierwiastek sześcienny

Wykładnik $\frac{m}{n}$

Ile wynosi $36^{\frac{1}{2}}$ ?

Ile wynosi $81^{\frac{3}{4}}$ ?

Ile wynosi $16^{-\frac{1}{2}}$ ?

Który zapis jest równy $\sqrt[3]{a^2}$ ?