Przejdź do treści
Zdaj Matmę.BY KODILO
Potęgi, pierwiastki i logarytmy · LEKCJA 5 Z 5

Porównywanie potęg

Potęgi

◷ 18 minPoziom: podstawowy7 kroków
ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się porównywać potęgi bez liczenia ogromnych wyników. Będziesz wybierać metodę: ta sama podstawa, ta sama potęga, wspólna podstawa, znak wyniku albo zamiana na ułamki.

Na start

Dla podstawy większej od 11 potęgi rosną.

Dla podstawy między 00 a 11 potęgi maleją.

Przy ujemnej podstawie najpierw ustal znak.

Po tej lekcji:
  • porównasz potęgi bez liczenia dużych wartości
  • sprowadzisz potęgi do wspólnej podstawy lub wykładnika
  • uwzględnisz ułamki, ujemne podstawy i ujemne wykładniki
ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ta sama podstawa większa od 11

Jeśli podstawa jest większa od 11, kolejne potęgi rosną. Każdy większy wykładnik oznacza dodatkowe mnożenie przez liczbę większą od 11.

Potęgi dwójki rosną wraz ze wzrostem wykładnika.
Potęgi dwójki rosną wraz ze wzrostem wykładnika.

Jesˊli a>1 i m>n, to am>an.\text{Jeśli }a>1\text{ i }m>n,\text{ to }a^m>a^n.

Bez liczenia wartości

Porównaj 353^5 i 373^7.

Rozwiązanie

Podstawa 33 jest większa od 11, a 7>57>5. Dlatego 37>353^7>3^5.

02WYJAŚNIENIE

Podstawa między 00 a 11

Jeśli podstawa jest dodatnim ułamkiem mniejszym od 11, kolejne potęgi maleją. Mnożenie przez taki ułamek zmniejsza wartość.

Potęgi ułamka jedna druga pokazane jako coraz mniejsze części prostokąta.
Potęgi ułamka jedna druga pokazane jako coraz mniejsze części prostokąta.

(12)1=12\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{2}

(12)2=14\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

(12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}

Większy wykładnik, mniejszy ułamek

Porównaj (13)2\left(\frac{1}{3}\right)^2 i (13)5\left(\frac{1}{3}\right)^5.

Rozwiązanie

Podstawa 13\frac{1}{3} leży między 00 a 11, więc większy wykładnik daje mniejszą wartość: (13)5<(13)2\left(\frac{1}{3}\right)^5<\left(\frac{1}{3}\right)^2.

03WYJAŚNIENIE

Sprowadzanie do wspólnej podstawy

Gdy podstawy są różne, sprawdź, czy da się zapisać je jako potęgi tej samej liczby. Wtedy porównanie sprowadza się do wykładników.

Zamiana podstawy

Porównaj 2102^{10} i 838^3.

Rozwiązanie

83=(23)3=298^3=(2^3)^3=2^9. Porównujemy 2102^{10} i 292^9, więc 210>832^{10}>8^3.

Zapamiętaj

Szukaj zależności: 4=224=2^2, 8=238=2^3, 27=3327=3^3.

04WYJAŚNIENIE

Wspólny wykładnik

Jeśli dodatnie podstawy mają ten sam dodatni wykładnik naturalny, większa podstawa daje większą potęgę. Wykładnik zero jest wyjątkiem: obie potęgi są wtedy równe 11. Czasem różne zapisy po przekształceniu dają dokładnie tę samą potęgę.

Jeśli a>b>0a>b>0 i nn jest dodatnią liczbą naturalną, to an>bna^n>b^n.

Równe potęgi w innym zapisie

Porównaj 464^6 i 848^4.

Rozwiązanie

46=(22)6=2124^6=(2^2)^6=2^{12} oraz 84=(23)4=2128^4=(2^3)^4=2^{12}, więc 46=844^6=8^4.

05WYJAŚNIENIE

Ujemna podstawa i nawiasy

Przy ujemnej podstawie najpierw ustal znak wyniku. Parzysty wykładnik daje wynik dodatni, nieparzysty ujemny. Bez nawiasu minus nie należy do podstawy.

Znak rozstrzyga porównanie

Porównaj (−3)4(-3)^4 i (−3)5(-3)^5.

Rozwiązanie

(−3)4(-3)^4 jest dodatnie, a (−3)5(-3)^5 jest ujemne, więc (−3)4>(−3)5(-3)^4>(-3)^5.

Zapamiętaj

(−2)6=64(-2)^6=64

−26=−64-2^6=-64

Wskazówka

Nie stosuj automatycznie zasady o większym wykładniku, gdy podstawa jest ujemna.

06WYJAŚNIENIE

Gdy nie ma wspólnej podstawy

Jeśli potęgi są małe, policz je. Jeśli jedna liczba jest blisko potęgi dziesiątki, użyj oszacowania. Przy ujemnym wykładniku zamień potęgi na ułamki.

Liczenie albo szacowanie

Porównaj 343^4 i 434^3 oraz 2−32^{-3} i 2−52^{-5}.

Rozwiązanie

34=813^4=81 i 43=644^3=64, więc 34>433^4>4^3. Dalej 2−3=182^{-3}=\frac{1}{8} i 2−5=1322^{-5}=\frac{1}{32}, więc 2−3>2−52^{-3}>2^{-5}.

07WYJAŚNIENIE

Strategia wyboru metody

Przy porównywaniu potęg najpierw rozpoznaj sytuację, a dopiero potem licz. To zwykle skraca rachunek.

Te same podstawy większe od 11: porównaj wykładniki.

Podstawa między 00 a 11: większy wykładnik daje mniejszą wartość.

Różne podstawy: poszukaj wspólnej podstawy.

Ujemna podstawa: najpierw sprawdź znak.

Ujemny wykładnik: zamień na ułamek.

Wspólna podstawa w praktyce

Porównaj 27227^2 i 373^7.

Rozwiązanie

272=(33)2=3627^2=(3^3)^2=3^6. Porównujemy 363^6 i 373^7, więc 37>2723^7>27^2.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która liczba jest większa?

Która liczba jest większa: 282^8 czy 262^6?

A

282^8

B

262^6

C

Są równe

D

Nie da się porównać

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

282^8

Podstawa 22 jest większa od 11, więc większy wykładnik daje większą potęgę: 28>262^8>2^6.

PYTANIE 02

Porównaj 454^5 i 292^9.

A

45<294^5<2^9

B

45=294^5=2^9

C

45>294^5>2^9

D

Nie da się porównać bez kalkulatora

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: C

45>294^5>2^9

45=(22)5=2104^5=(2^2)^5=2^{10}, a 210>292^{10}>2^9.

PYTANIE 03

Która liczba jest większa: (−3)4(-3)^4 czy (−3)5(-3)^5?

A

(−3)4(-3)^4

B

(−3)5(-3)^5

C

Są równe

D

Obie są dodatnie

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

(−3)4(-3)^4

(−3)4(-3)^4 jest dodatnie, a (−3)5(-3)^5 jest ujemne. Większa jest liczba dodatnia.

PYTANIE 04

Która liczba jest większa?

Która liczba jest większa: 5−25^{-2} czy 5−35^{-3}?

A

5−25^{-2}

B

5−35^{-3}

C

Są równe

D

Obie są ujemne

Sprawdź odpowiedź
Poprawna odpowiedź: A

5−25^{-2}

5−2=1255^{-2}=\frac{1}{25}, a 5−3=11255^{-3}=\frac{1}{125}. Ponieważ 125>1125\frac{1}{25}>\frac{1}{125}, większe jest 5−25^{-2}.

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Porównywanie potęg zaczyna się od rozpoznania sytuacji. Czasem wystarczy porównać wykładniki, czasem trzeba sprowadzić do wspólnej podstawy, a przy ujemnych podstawach lub wykładnikach najpierw ustalić znak albo zamienić potęgę na ułamek.

Zapamiętaj

Dla a>1a>1 większy wykładnik daje większą potęgę.

Dla 0<a<10<a<1 większy wykładnik daje mniejszą potęgę.

Przy ujemnej podstawie najpierw sprawdź parzystość wykładnika.