Pola wielokątów - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Nauczysz się liczyć pola figur, które nie mają jednego gotowego wzoru z tablic. Będziemy dzielić je na prostokąty i trójkąty albo odejmować brakujący fragment od większej figury.

Na start

figurę złożoną można podzielić na znane figury

czasem szybciej policzyć duży prostokąt i odjąć pusty kawałek

wielokąt foremny można liczyć z obwodu i apotemy

Po tej lekcji:

podzielisz figurę złożoną na prostsze części
obliczysz pole przez dodawanie albo odejmowanie pól
użyjesz wzoru na pole wielokąta foremnego z apotemą

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dodawanie pól części

Jeśli figurę da się rozciąć na prostokąt i trójkąt, policz pole każdej części osobno, a na końcu dodaj wyniki.

Figura złożona podzielona na prostokąt i trójkąt.

$P=P_1+P_2$

PRZYKŁAD

Prostokąt ma wymiary $8$ i $5$ , a trójkąt ma podstawę $8$ i wysokość $3$ . Oblicz pole figury.

Rozwiązanie

$P=8\cdot 5+\frac{8\cdot 3}{2}=40+12=52$

02WYJAŚNIENIE

Odejmowanie brakującej części

Przy figurze w kształcie litery L często najwygodniej dorysować duży prostokąt, a potem odjąć prostokąt, którego w figurze nie ma.

Figura w kształcie litery L jako duży prostokąt bez brakującego prostokąta.

$P_{figury}=P_{duzego}-P_{brakujacego}$

PRZYKŁAD

Duży prostokąt ma wymiary $10$ i $7$ , a brakujący prostokąt $4$ i $3$ . Oblicz pole figury.

Rozwiązanie

$P=10\cdot 7-4\cdot 3=70-12=58$

Wskazówka

Odejmowanie jest dobre wtedy, gdy dorysowanie pełnego prostokąta daje prostszy rachunek niż dzielenie figury na wiele kawałków.

03WYJAŚNIENIE

Figura na kratkach

Na kratkach licz pełne kratki, a połówki łącz w całe kratki. Gdy krawędź figury idzie po przekątnej kratki, zwykle powstaje połowa kwadratu jednostkowego.

Jeśli figura ma $18$ pełnych kratek i $6$ połówek, to:

$P=18+6\cdot\frac{1}{2}=21$

Zapamiętaj

Połówki nie znikają. Dwie połówki tworzą jedną pełną kratkę.

04WYJAŚNIENIE

Wielokąt foremny

Wielokąt foremny można rozciąć na jednakowe trójkąty. Ich wspólna wysokość to apotema, czyli odcinek ze środka wielokąta prostopadły do boku.

Sześciokąt foremny podzielony na trójkąty z zaznaczoną apotemą.

W wielokącie foremnym odcinek od środka do boku, prostopadły do tego boku, nazywa się apotemą. Dzieląc figurę na trójkąty o wspólnej wysokości (apotemie), sumujesz ich podstawy do obwodu: $P=\frac12\cdot\text{obwód}\cdot\text{apotema}$ .

$P=\frac{O\cdot r}{2}$

PRZYKŁAD

Oblicz pole wielokąta foremnego, którego obwód wynosi $30$ , a apotema $4$ .

Rozwiązanie

$P=\frac{30\cdot 4}{2}=60$

Wskazówka

Apotema nie jest odległością od środka do wierzchołka. Musi kończyć się na boku i być do niego prostopadła.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Figura składa się z prostokąta $7\times 5$ i trójkąta o podstawie $7$ oraz wysokości $4$ . Oblicz pole figury.

$35$

$49$

$63$

$70$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$49$

$P=7\cdot 5+\frac{7\cdot 4}{2}=35+14=49$

PYTANIE 02

Zadanie

Z prostokąta $12\times 8$ wycięto prostokąt $3\times 5$ . Jakie pole ma pozostała figura?

$66$

$78$

$81$

$111$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$81$

$P=12\cdot 8-3\cdot 5=96-15=81$

PYTANIE 03

Zadanie

Wielokąt foremny ma obwód $48$ i apotemę $5$ . Oblicz jego pole.

$53$

$96$

$120$

$240$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$120$

$P=\frac{48\cdot 5}{2}=120$

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

Dla figur złożonych nie szukaj na siłę jednego wzoru. Rozbij figurę na znane części albo odejmij brakujący fragment od większej figury.

Zapamiętaj

$P=P_1+P_2+P_3+\ldots$

$P_{figury}=P_{duzego}-P_{brakujacego}$

$P_{foremnego}=\frac{O\cdot r}{2}$