Obwody i pola figur w zadaniach - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

Przećwiczysz zadania, w których trzeba zdecydować, czy liczymy długość brzegu, czy powierzchnię. To ważne, bo na maturze oba typy zadań często wyglądają podobnie w treści.

Na start

obwód to długość brzegu figury

pole to powierzchnia figury

przy skali pole zmienia się szybciej niż długości

Po tej lekcji:

odróżnisz zadania o obwodzie od zadań o polu
dobierzesz jednostki do wyniku
rozwiążesz praktyczne zadania o figurach i skali

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Obwód czy pole?

Obwód mówi, ile mierzy brzeg figury. Pole mówi, jak dużą powierzchnię figura zajmuje.

Porównanie obwodu jako brzegu i pola jako powierzchni figury.

Przed liczeniem ujednolić trzeba długości. Pamiętaj: $1\text{ m}=100\text{ cm}$ , ale $1\text{ m}^2=100\cdot100\text{ cm}^2=10000\text{ cm}^2$ .

Obwód ma jednostki długości, a pole ma jednostki kwadratowe.

PRZYKŁAD

Prostokąt ma boki $8\text{ m}$ i $3\text{ m}$ . Oblicz jego obwód i pole.

Rozwiązanie

$O=2\cdot 8+2\cdot 3=22\text{ m}$

$P=8\cdot 3=24\text{ m}^2$

02WYJAŚNIENIE

Słowa w treści zadania

Ogrodzenie, listwa, ramka albo taśma zwykle prowadzą do obwodu. Trawnik, podłoga, kafelki, farba albo powierzchnia prowadzą do pola.

Działka ma wymiary $30\text{ m}$ i $20\text{ m}$ . Ile metrów ogrodzenia potrzeba i jaką powierzchnię ma trawnik?

Na ogrodzenie potrzeba $2\cdot 30+2\cdot 20=100\text{ m}$ .

Na trawnik liczymy $30\cdot 20=600\text{ m}^2$ .

Zapamiętaj

Najpierw przeczytaj, czego dotyczy pytanie, a dopiero potem wybierz wzór.

03WYJAŚNIENIE

Jednostki wyniku

Jednostka często zdradza, czy wynik ma być obwodem, czy polem. Długość zapisujemy w metrach, centymetrach albo milimetrach. Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych.

$\text{obwod: }m,\ cm,\ mm$

$\text{pole: }m^2,\ cm^2,\ mm^2$

Pokój o wymiarach $4\text{ m}$ i $3\text{ m}$ ma podłogę o polu $12\text{ m}^2$ .

Wskazówka

Gdy w odpowiedziach widzisz jednostki kwadratowe, zadanie prawdopodobnie pyta o pole, a nie o obwód.

04WYJAŚNIENIE

Ramka, podłoga, taras

W zadaniach praktycznych ta sama figura może wymagać dwóch różnych rachunków. Ramka wokół obrazka to obwód, a powierzchnia obrazka to pole.

Obrazek ma wymiary $50\text{ cm}$ i $30\text{ cm}$ . Oblicz długość ramki i pole obrazka.

$O=2\cdot 50+2\cdot 30=160\text{ cm}$

$P=50\cdot 30=1500\text{ cm}^2$

Wskazówka

Jeżeli pytanie brzmi o długość listwy, liczysz obwód. Jeżeli pytanie brzmi o miejsce na zdjęcie, liczysz pole.

05WYJAŚNIENIE

Figura złożona w zadaniu

Taras może składać się z prostokąta i trójkąta. Wtedy liczymy powierzchnię każdej części i dodajemy wyniki.

Taras jako prostokąt z trójkątną częścią.

$P=P_{prostokata}+P_{trojkata}$

PRZYKŁAD

Taras składa się z prostokąta $6\text{ m}\times 4\text{ m}$ i trójkąta o podstawie $6\text{ m}$ oraz wysokości $2\text{ m}$ . Oblicz jego pole.

Rozwiązanie

$P=6\cdot 4+\frac{6\cdot 2}{2}=24+6=30\text{ m}^2$

06WYJAŚNIENIE

Skala a pole

Gdy wszystkie długości figury mnożymy przez tę samą liczbę, obwód mnoży się przez tę liczbę, ale pole przez jej kwadrat.

$\text{dlugosci}\cdot k$

$\text{obwod}\cdot k$

$\text{pole}\cdot k^2$

Jeżeli pole wynosi $20\text{ cm}^2$ , a wszystkie długości zwiększono $3$ razy, nowe pole wynosi $20\cdot 3^2=180\text{ cm}^2$ .

Wskazówka

To częsta pułapka: przy trzykrotnie większych bokach pole nie jest trzy razy większe, tylko dziewięć razy większe.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie

Prostokątna działka ma wymiary $25\text{ m}$ i $15\text{ m}$ . Ile metrów ogrodzenia potrzeba na jej ogrodzenie?

$40\text{ m}$

$80\text{ m}$

$375\text{ m}$

$750\text{ m}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$80\text{ m}$

Ogrodzenie to obwód: $2\cdot 25+2\cdot 15=80\text{ m}$ .

PYTANIE 02

Zadanie

Podłoga w pokoju ma wymiary $5\text{ m}$ i $4\text{ m}$ . Jaką powierzchnię trzeba pokryć panelami?

$9\text{ m}^2$

$18\text{ m}^2$

$20\text{ m}^2$

$40\text{ m}^2$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$20\text{ m}^2$

Panele pokrywają powierzchnię, więc liczymy pole: $5\cdot 4=20\text{ m}^2$ .

PYTANIE 03

Zadanie

Figurę powiększono w skali $2$ , czyli wszystkie odpowiadające długości są dwa razy większe. Ile razy zwiększyło się jej pole?

dwa razy

cztery razy

sześć razy

osiem razy

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

cztery razy

Pole zmienia się jak kwadrat skali: $2^2=4$ .

NA KONIEC

Najważniejsze po lekcji

W zadaniach praktycznych najpierw ustal, czy pytanie dotyczy brzegu, powierzchni, czy zmiany skali. Dopiero potem wybieraj wzór.

Zapamiętaj

obwód: długość brzegu

pole: powierzchnia figury

$\text{przy skali }k\text{ pole mnozymy przez }k^2$