Funkcja jako przyporządkowanie

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się patrzeć na funkcję jak na regułę przypisywania. Będziesz sprawdzać, czy każdemu argumentowi przypisano dokładnie jedną wartość, i odróżniać poprawną funkcję od przyporządkowania, które funkcją nie jest.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz funkcję jako regułę typu „wejście daje wyjście”.

Potem sprawdzisz, kiedy przyporządkowanie spełnia warunek funkcji.

Na końcu przećwiczysz rozpoznawanie funkcji na prostych przykładach.

Na start

Funkcja nie musi być od razu wzorem.

Najważniejsze pytanie brzmi: czy jeden argument ma dokładnie jedną wartość?

Po tej lekcji:

Uczeń ma umieć rozpoznawać, czy dane przyporządkowanie jest funkcją, i rozumieć, że jednemu argumentowi wolno przypisać dokładnie jedną wartość.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Argument wchodzi, wartość wychodzi

Funkcja bierze liczbę albo obiekt z pierwszego zbioru i przypisuje mu dokładnie jeden wynik. Argument to dane wejściowe, a wartość funkcji to wynik po zastosowaniu reguły.

x \longmapsto f(x)

Przykład

Reguła przypisuje każdej liczbie jej podwojenie. Jaką wartość dostaje argument $x=4$ ?

Rozwiązanie

Reguła mówi: liczbę mnożymy przez $2$ . Dla argumentu $x=4$ liczymy $2\cdot 4=8$ . Wartością funkcji dla argumentu $4$ jest $8$ . Wniosek: Argumentem jest $4$ , a wartością funkcji jest $8$ .

02WYJAŚNIENIE

Warunek funkcji: jeden argument, jedna wartość

Przyporządkowanie jest funkcją, gdy każdy argument ma przypisaną dokładnie jedną wartość. Różne argumenty mogą mieć tę samą wartość, ale jeden argument nie może mieć dwóch różnych wartości.

$x=2 \quad \text{nie może dawać jednocześnie} \quad 5 \text{ i } 7$

Każdy argument musi mieć przypisaną wartość.

Jeden argument może mieć tylko jedną wartość.

Dwa różne argumenty mogą mieć tę samą wartość.

Przykład

Czy przyporządkowanie $1\mapsto 4$ , $2\mapsto 4$ , $3\mapsto 9$ jest funkcją?

Rozwiązanie

Sprawdzamy argument $1$ : ma jedną wartość $4$ . Sprawdzamy argument $2$ : ma jedną wartość $4$ . Sprawdzamy argument $3$ : ma jedną wartość $9$ . Żaden argument nie ma dwóch wartości. Wniosek: To jest funkcja, mimo że dwa argumenty, $1$ i $2$ , mają tę samą wartość $4$ .

Zapamiętaj

Powtarzająca się wartość nie psuje funkcji.

Dwie wartości dla jednego argumentu psują funkcję.

03WYJAŚNIENIE

Kiedy przyporządkowanie nie jest funkcją?

Przyporządkowanie przestaje być funkcją, gdy ten sam argument prowadzi do dwóch różnych wyników. Wtedy nie da się jednoznacznie powiedzieć, jaka jest wartość funkcji dla tego argumentu.

Pokazać typowy błąd: jeden argument przypisany do dwóch różnych wartości.

Przykład

Czy przyporządkowanie $1\mapsto 3$ , $2\mapsto 5$ , $2\mapsto 7$ jest funkcją?

Rozwiązanie

Sprawdzamy argument $1$ : ma wartość $3$ . Sprawdzamy argument $2$ : ma wartość $5$ . Ten sam argument $2$ ma też wartość $7$ . Jeden argument ma dwie różne wartości. Wniosek: To nie jest funkcja, bo dla $x=2$ nie wiadomo, czy wartością ma być $5$ , czy $7$ .

Wskazówka

Nie sprawdzaj, czy wartości się powtarzają. Sprawdzaj, czy argumenty się nie rozdzielają na kilka różnych wartości.

04WYJAŚNIENIE

Zapis $f(x)$ oznacza wartość funkcji

Symbol $f(x)$ czytamy: „wartość funkcji $f$ dla argumentu $x$ ”. Jeśli $f(3)=10$ , to znaczy, że argumentowi $3$ przypisano wartość $10$ .

$f(3)=10$

Przykład

Co oznacza zapis $f(5)=12$ ?

Rozwiązanie

Litera $f$ oznacza nazwę funkcji. Liczba $5$ w nawiasie jest argumentem. Liczba $12$ po prawej stronie jest wartością funkcji. Zapis mówi: dla argumentu $5$ funkcja przyjmuje wartość $12$ . Wniosek: $f(5)=12$ nie oznacza mnożenia $f\cdot 5$ . To zapis wartości funkcji.

Wskazówka

Nawias w $f(5)$ nie oznacza zwykłego mnożenia. To informacja, dla jakiego argumentu liczymy wartość funkcji.

05WYJAŚNIENIE

Funkcja w opisie sytuacji

Jeden zeszyt kosztuje cztery złote. Funkcja przyporządkowuje liczbie kupionych zeszytów ich łączną cenę, więc każda liczba zeszytów daje dokładnie jeden koszt.

$c(n)=4n$

Przykład

Jeden zeszyt kosztuje $4$ zł. Czy cena zakupów jest funkcją liczby zeszytów?

Rozwiązanie

Argumentem jest liczba zeszytów. Dla każdej liczby zeszytów cena jest jednoznaczna. Dla $3$ zeszytów cena wynosi $3\cdot 4=12$ zł. Dla $5$ zeszytów cena wynosi $5\cdot 4=20$ zł. Wniosek: Cena jest funkcją liczby zeszytów, bo każdej liczbie zeszytów odpowiada dokładnie jedna cena.

Zapamiętaj

Funkcja może opisywać zależność z życia.

Wartość funkcji zależy od wybranego argumentu.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Które przyporządkowanie jest funkcją?

$1\mapsto 2,\ 1\mapsto 3,\ 2\mapsto 4$

$1\mapsto 5,\ 2\mapsto 5,\ 3\mapsto 6$

$2\mapsto 7,\ 2\mapsto 8,\ 3\mapsto 9$

$4\mapsto 1,\ 4\mapsto 2,\ 4\mapsto 3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$1\mapsto 5,\ 2\mapsto 5,\ 3\mapsto 6$

W odpowiedzi B każdy argument ma dokładnie jedną wartość. Powtarzająca się wartość $5$ nie przeszkadza.

PYTANIE 02

Zapis $f(4)=9$ oznacza, że:

argument $9$ ma wartość $4$

funkcja $f$ jest równa $4\cdot 9$

dla argumentu $4$ wartość funkcji wynosi $9$

funkcja nie ma wartości dla $4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

dla argumentu $4$ wartość funkcji wynosi $9$

Liczba w nawiasie jest argumentem, a liczba po prawej stronie jest wartością funkcji.

PYTANIE 03

Przyporządkowanie nie jest funkcją, gdy:

dwa różne argumenty mają tę samą wartość

jeden argument ma dwie różne wartości

wartości są liczbami dodatnimi

argumenty są liczbami ujemnymi

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

jeden argument ma dwie różne wartości

Warunek funkcji wymaga, żeby jeden argument miał dokładnie jedną wartość.

PYTANIE 04

Jeżeli funkcja przypisuje liczbie jej potrojenie, to argumentowi $6$ przypisuje:

$2$

$3$

$9$

$18$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$18$

Potrojenie liczby $6$ to $3\cdot 6=18$ .

NA KONIEC

Co zapamiętać o funkcji?

Funkcja to przyporządkowanie, w którym każdemu argumentowi przypisana jest dokładnie jedna wartość. Różne argumenty mogą mieć tę samą wartość, ale jeden argument nie może mieć dwóch różnych wartości. Zapis $f(x)$ oznacza wartość funkcji dla argumentu $x$ , a nie mnożenie.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Argument wchodzi, wartość wychodzi

Warunek funkcji: jeden argument, jedna wartość

Kiedy przyporządkowanie nie jest funkcją?

Zapis f(x)f(x)f(x) oznacza wartość funkcji

Funkcja w opisie sytuacji

Teraz Twoja kolej

Które przyporządkowanie jest funkcją?

Zapis f(4)=9f(4)=9f(4)=9 oznacza, że:

Przyporządkowanie nie jest funkcją, gdy:

Jeżeli funkcja przypisuje liczbie jej potrojenie, to argumentowi 666 przypisuje:

Co zapamiętać o funkcji?

Zapis $f(x)$ oznacza wartość funkcji

Zapis $f(4)=9$ oznacza, że:

Jeżeli funkcja przypisuje liczbie jej potrojenie, to argumentowi $6$ przypisuje: