Co będziesz umieć po tej lekcji?
Nie każde dzielenie liczb naturalnych kończy się wynikiem całkowitym. W tej lekcji zapiszesz takie sytuacje wzorem, sprawdzisz ograniczenie na resztę i użyjesz tego w zadaniach o powtarzających się cyklach.
Najpierw zobaczysz resztę jako elementy poza pełnymi grupami.
Potem zapiszesz dzielenie w postaci .
Na końcu rozpoznasz liczby dające tę samą resztę.
Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.
Reszta oznacza podzielność bez reszty.
- zapiszesz dzielenie z resztą
- określisz możliwe reszty
- użyjesz reszt w zadaniach zamkniętych i cyklicznych
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
Dzielenie z resztą na przykładzie
Gdy dzielimy przez , mieszczą się trzy pełne piątki i zostają jeszcze dwa elementy.
Podziel przez z resztą.
Największa wielokrotność nie większa niż to , bo . Odejmujemy .
Iloraz całkowity to , a reszta to .
Ogólny zapis dzielenia z resztą
Każdą liczbę naturalną można zapisać jako wielokrotność dzielnika plus resztę.
Dzielnik jest dodatnią liczbą naturalną. Iloraz całkowity mówi, ile pełnych grup wielkości mieści się w liczbie .
to liczba dzielona.
to dzielnik.
to iloraz całkowity.
to reszta.
Zapisz dzielenie liczby przez z resztą.
Największa wielokrotność nie większa niż to . Mamy , a reszta to .
Reszta nie może być równa dzielnikowi. Wtedy dałoby się utworzyć jeszcze jedną pełną grupę.
.
Jakie reszty są możliwe?
Przy dzieleniu przez możliwe reszty to tylko . Reszta oznaczałaby kolejną pełną piątkę.
Jakie reszty są możliwe przy dzieleniu przez ?
Reszta jest większa lub równa i mniejsza od dzielnika .
Przy dzieleniu przez możliwe reszty to .
Możliwe reszty to .
Reszta oznacza podzielność
Jeżeli reszta z dzielenia wynosi , to liczba dzieli się przez dzielnik bez reszty.
Jaką resztę daje liczba przy dzieleniu przez ?
, więc wynik jest całkowity. Możemy zapisać .
oznacza podzielność.
oznacza dzielenie niedokładne.
Reszta wynosi , więc jest podzielne przez .
Liczby dające tę samą resztę
Liczby dające resztę przy dzieleniu przez mają postać:
Wypisz cztery dodatnie liczby, które przy dzieleniu przez dają resztę .
Podstawiamy kolejne wartości do wzoru : dla mamy , dla mamy , dalej i .
to poprawne przykłady.
Zadanie z resztą zapisane równaniem
Jeśli liczba przy dzieleniu przez daje resztę , to ma postać .
Liczba przy dzieleniu przez daje resztę . Która z liczb może być : ?
Liczby postaci to . Liczby pasują, a daje inną resztę.
W zadaniach zamkniętych często najszybciej jest sprawdzić odpowiedzi przez zapis .
Wśród podanych liczb nie pasuje .
Reszty w zadaniach cyklicznych
Reszty pomagają tam, gdzie coś powtarza się w cyklu. Dni tygodnia powtarzają się co dni, więc pełne tygodnie nie zmieniają dnia.
Dzisiaj jest poniedziałek. Jaki dzień tygodnia będzie za dni?
Dzielimy przez : . Po dniach znowu byłby poniedziałek, a zostają jeszcze dni.
Poniedziałek plus dni to czwartek.
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
Reszta z dzielenia przez wynosi:
Sprawdź odpowiedź
, więc reszta wynosi .
Który zapis poprawnie opisuje dzielenie przez z resztą?
Sprawdź odpowiedź
i . Reszta jest mniejsza od .
Przy dzieleniu przez możliwe reszty to:
Sprawdź odpowiedź
Reszta musi spełniać warunek .
Liczba ma postać . Jaką resztę daje przy dzieleniu przez ?
Liczba ma postać . Jaką resztę daje przy dzieleniu przez ? Zakładamy, że jest liczbą całkowitą.
Sprawdź odpowiedź
oznacza wielokrotność i resztę .
Podsumowanie
Dzielenie z resztą zapisujemy w postaci , gdzie reszta spełnia . Reszta oznacza podzielność bez reszty. Liczby z tą samą resztą przy dzieleniu przez różnią się o wielokrotności .
oznacza resztę przy dzieleniu przez .
W cyklach liczy się reszta po odjęciu pełnych obrotów.