NWD i NWW

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się dwóch narzędzi. NWD pomaga znaleźć największą liczbę dzielącą kilka liczb bez reszty. NWW pomaga znaleźć pierwszy wspólny moment, w którym spotykają się wielokrotności.

Plan tej lekcji

Najpierw policzysz NWD przez dzielniki.

Potem policzysz NWW przez wielokrotności.

Następnie użyjesz rozkładów na czynniki pierwsze.

Na końcu odróżnisz zadania o dzieleniu na grupy od zadań o cyklach.

Na start

NWD: największe równe części.

NWW: pierwszy wspólny moment.

Po tej lekcji:

obliczysz NWD i NWW przez wypisanie dzielników lub wielokrotności
użyjesz rozkładu na czynniki pierwsze
rozpoznasz, kiedy zadanie tekstowe wymaga NWD, a kiedy NWW

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

NWD: największy wspólny dzielnik

NWD dwóch liczb to największa liczba, która dzieli obie liczby bez reszty.

Diagram wspólnych dzielników liczb 12 i 18 z wyróżnioną liczbą 6 jako NWD.

PRZYKŁAD

Oblicz $NWD(12,18)$ .

Rozwiązanie

Dzielniki liczby $12$ to $1,2,3,4,6,12$ . Dzielniki liczby $18$ to $1,2,3,6,9,18$ . Wspólne dzielniki to $1,2,3,6$ .

$NWD(12,18)=6$ .

02WYJAŚNIENIE

NWW: najmniejsza wspólna wielokrotność

NWW dwóch liczb to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wielokrotnością obu liczb.

PRZYKŁAD

Oblicz $NWW(4,6)$ .

Rozwiązanie

Dodatnie wielokrotności $4$ to $4,8,12,16,20,24$ . Dodatnie wielokrotności $6$ to $6,12,18,24,30$ . Pierwsza wspólna to $12$ .

$NWW(4,6)=12$ .

03WYJAŚNIENIE

NWD z rozkładu na czynniki pierwsze

Do NWD bierzemy tylko czynniki wspólne i wybieramy ich mniejsze potęgi. Wspólny dzielnik nie może zawierać więcej kopii danego czynnika, niż ma każda z obu liczb. Stąd wybór mniejszego wykładnika, np. jednego czynnika $3$ , skoro w $120$ jest tylko jedna trójka.

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze.

Wybierz czynniki obecne w obu rozkładach.

Dla każdego wspólnego czynnika weź mniejszy wykładnik.

PRZYKŁAD

Oblicz $NWD(72,120)$ .

Rozwiązanie

$72=2^3\cdot3^2$ oraz $120=2^3\cdot3\cdot5$ . Wspólne czynniki to $2$ i $3$ . Bierzemy $2^3$ oraz $3^1$ .

Wskazówka

Do NWD nie bierzemy czynnika występującego tylko w jednej liczbie. Tutaj czynnik $5$ odpada.

$NWD(72,120)=2^3\cdot3=24$ .

04WYJAŚNIENIE

NWW z rozkładu na czynniki pierwsze

Do NWW bierzemy wszystkie czynniki, które pojawiają się w którymkolwiek rozkładzie, i wybieramy większe potęgi. Wspólna wielokrotność musi zawierać wszystkie czynniki potrzebne do zbudowania każdej z liczb. Większy wykładnik zapewnia wystarczającą liczbę kopii czynnika; dokładanie kolejnych dałoby większą, a nie najmniejszą wielokrotność.

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze.

Wypisz wszystkie czynniki z obu rozkładów.

Dla każdego czynnika weź większy wykładnik.

PRZYKŁAD

Oblicz $NWW(72,120)$ .

Rozwiązanie

$72=2^3\cdot3^2$ oraz $120=2^3\cdot3\cdot5$ . Bierzemy $2^3$ , $3^2$ i $5$ .

Wskazówka

Do NWW trzeba wziąć także czynnik, który występuje tylko w jednej liczbie.

$NWW(72,120)=2^3\cdot3^2\cdot5=360$ .

05WYJAŚNIENIE

Kiedy użyć NWD, a kiedy NWW?

NWD pasuje do dzielenia na możliwie największe równe części. NWW pasuje do powtarzających się zdarzeń i pytania o pierwszy wspólny moment.

Użyj NWD, gdy dzielisz coś na równe części bez reszty.

Użyj NWW, gdy zdarzenia powtarzają się co pewien czas.

PRZYKŁAD

Dwie lampki właśnie mignęły jednocześnie. Jedna miga co $6$ sekund, druga co $8$ sekund. Po ilu sekundach znów migną razem?

Rozwiązanie

Szukamy pierwszego wspólnego momentu, więc liczymy NWW. Wielokrotności $6$ to $6,12,18,24$ . Wielokrotności $8$ to $8,16,24$ .

$NWW(6,8)=24$ , więc lampki migną razem po $24$ sekundach.

06WYJAŚNIENIE

Zależność między NWD i NWW

Dla dwóch dodatnich liczb naturalnych iloczyn tych liczb jest równy iloczynowi ich NWD i NWW.

$a\cdot b=NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)$

PRZYKŁAD

Dla liczb $12$ i $18$ znamy $NWD(12,18)=6$ . Oblicz $NWW(12,18)$ .

Rozwiązanie

Podstawiamy do wzoru: $12\cdot18=6\cdot NWW(12,18)$ . Ponieważ $12\cdot18=216$ , dzielimy $216$ przez $6$ .

$NWW(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

$NWD(18,24)$ jest równy:

$3$

$6$

$12$

$72$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6$

Dzielniki wspólne $18$ i $24$ to $1,2,3,6$ . Największy z nich to $6$ .

PYTANIE 02

$NWW(5,12)$ jest równy:

$17$

$30$

$60$

$120$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$60$

Liczby $5$ i $12$ nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$ , więc $NWW(5,12)=5\cdot12=60$ .

PYTANIE 03

Jeśli $36=2^2\cdot3^2$ oraz $60=2^2\cdot3\cdot5$ , to $NWD(36,60)$ wynosi:

$6$

$12$

$36$

$180$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$12$

Do NWD bierzemy $2^2$ i $3$ , więc $2^2\cdot3=12$ .

PYTANIE 04

Dwa autobusy odjeżdżają co $10$ minut i co $15$ minut. Po ilu minutach odjadą znowu razem?

Dwa autobusy odjeżdżają co $10$ minut i co $15$ minut. Po ilu minutach odjadą znowu razem? Autobusy wyruszyły jednocześnie.

$15$

$20$

$30$

$150$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$30$

To zadanie o NWW: $NWW(10,15)=30$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

NWD to największy wspólny dzielnik, a NWW to najmniejsza wspólna dodatnia wielokrotność. W rozkładzie na czynniki pierwsze do NWD bierzemy wspólne czynniki z mniejszymi wykładnikami, a do NWW wszystkie czynniki z większymi wykładnikami.

Zapamiętaj

NWD: wspólne czynniki, mniejsze potęgi.

NWW: wszystkie czynniki, większe potęgi.

$a\cdot b=NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

NWD: największy wspólny dzielnik

NWW: najmniejsza wspólna wielokrotność

NWD z rozkładu na czynniki pierwsze

NWW z rozkładu na czynniki pierwsze

Kiedy użyć NWD, a kiedy NWW?

Zależność między NWD i NWW

Teraz Twoja kolej

NWD(18,24)NWD(18,24)NWD(18,24) jest równy:

NWW(5,12)NWW(5,12)NWW(5,12) jest równy:

Jeśli 36=22⋅3236=2^2\cdot3^236=22⋅32 oraz 60=22⋅3⋅560=2^2\cdot3\cdot560=22⋅3⋅5, to NWD(36,60)NWD(36,60)NWD(36,60) wynosi:

Dwa autobusy odjeżdżają co 101010 minut i co 151515 minut. Po ilu minutach odjadą znowu razem?

Podsumowanie

$NWD(18,24)$ jest równy:

$NWW(5,12)$ jest równy:

Jeśli $36=2^2\cdot3^2$ oraz $60=2^2\cdot3\cdot5$ , to $NWD(36,60)$ wynosi:

Dwa autobusy odjeżdżają co $10$ minut i co $15$ minut. Po ilu minutach odjadą znowu razem?