Proste dowody dotyczące podzielności

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W dowodach z podzielności nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów. W tej lekcji nauczysz się zapisywać liczby ogólnie i przekształcać wyrażenie tak, żeby wymagany czynnik był widoczny.

Plan tej lekcji

Najpierw zapiszesz liczbę podzielną przez $a$ jako $ak$ .

Potem zapiszesz liczby parzyste i nieparzyste.

Na końcu przećwiczysz dowody sum, różnic i iloczynów.

Na start

Dowód ma działać dla każdej liczby spełniającej warunek.

Kilka przykładów nie jest dowodem ogólnym.

Po tej lekcji:

zapiszesz liczbę podzielną jako wielokrotność
użyjesz postaci liczb parzystych i nieparzystych
wyciągniesz wspólny czynnik w prostym dowodzie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jak zapisać liczbę podzielną?

Jeśli liczba jest podzielna przez $5$ , to jest pewną wielokrotnością $5$ . Zapisujemy ją jako:

$n=5k,\quad k\in\mathbb{Z}$

PRZYKŁAD

Zapisz ogólnie liczbę podzielną przez $7$ .

Rozwiązanie

Liczba podzielna przez $7$ jest wielokrotnością $7$ , więc zapisujemy ją jako $7k$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Zapamiętaj

Liczba podzielna przez $a$ ma postać $ak$ .

Wskazówka

Pułapka: $k+7$ nie musi być wielokrotnością $7$ .

$7k$ obejmuje wszystkie wielokrotności $7$ .

02WYJAŚNIENIE

Liczby parzyste i nieparzyste

Liczba parzysta jest podzielna przez $2$ , więc ma postać $2k$ . Liczba nieparzysta jest o $1$ większa od parzystej, więc ma postać $2k+1$ .

Oś liczbowa od 0 do 9 z przeplatającymi się liczbami parzystymi i nieparzystymi.

PRZYKŁAD

Zapisz trzy kolejne liczby nieparzyste.

Rozwiązanie

Pierwszą zapisujemy jako $2k+1$ . Kolejne liczby nieparzyste są większe o $2$ , więc następne to $2k+3$ i $2k+5$ .

$2k+1,\ 2k+3,\ 2k+5$ .

03WYJAŚNIENIE

Suma dwóch liczb parzystych

Dwie dowolne liczby parzyste zapisujemy jako $2a$ i $2b$ . Potem wyciągamy wspólny czynnik. Litery $a$ i $b$ oznaczają dowolne liczby całkowite. Zapis $2(a+b)$ powstaje, bo mnożenie rozdziela się na dodawanie: $2(a+b)=2a+2b$ . Suma $a+b$ też jest całkowita, więc wynik jest wielokrotnością $2$ .

PRZYKŁAD

Udowodnij, że suma dwóch liczb parzystych jest parzysta.

Rozwiązanie

Suma ma postać $2a+2b$ . Wyłączamy $2$ przed nawias: $2a+2b=2(a+b)$ .

Zapamiętaj

Jeśli widać czynnik $2$ , widać parzystość.

Wyrażenie $2(a+b)$ jest podzielne przez $2$ .

04WYJAŚNIENIE

Suma dwóch liczb nieparzystych

Dwie liczby nieparzyste zapisujemy jako $2a+1$ i $2b+1$ . Dwie jedynki tworzą dodatkową parzystą część.

PRZYKŁAD

Udowodnij, że suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta.

Rozwiązanie

$(2a+1)+(2b+1)=2a+2b+2=2(a+b+1)$ .

Wskazówka

Pułapka: $3+5=8$ to tylko przykład, nie dowód ogólny.

Otrzymaliśmy iloczyn $2$ i liczby całkowitej, więc suma jest parzysta.

05WYJAŚNIENIE

Iloczyn z liczbą parzystą

Jeżeli jeden czynnik iloczynu liczb całkowitych jest parzysty, można zapisać go jako dwa razy liczba całkowita. Po pomnożeniu przez inną liczbę całkowitą wynik nadal jest wielokrotnością dwóch.

PRZYKŁAD

Udowodnij, że iloczyn liczby parzystej i dowolnej liczby całkowitej jest parzysty.

Rozwiązanie

Liczbę parzystą zapisujemy jako $2a$ , a dowolną całkowitą jako $b$ . Iloczyn to $2a\cdot b=2ab=2(ab)$ .

Zapamiętaj

W dowodzie podzielności szukaj czynnika, który można wyciągnąć przed nawias.

$2(ab)$ jest podzielne przez $2$ .

06WYJAŚNIENIE

Suma trzech kolejnych liczb

Trzy kolejne liczby całkowite zapisujemy jako $n,\ n+1,\ n+2$ . Ich suma po uporządkowaniu ma widoczny czynnik $3$ .

Trzy kafelki n, n+1 i n+2 prowadzące do zapisu 3n+3 oraz 3(n+1).

PRZYKŁAD

Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez $3$ .

Rozwiązanie

$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$ .

Zapis $3(n+1)$ pokazuje podzielność przez $3$ .

07WYJAŚNIENIE

Różnica dwóch liczb podzielnych przez tę samą liczbę

Jeśli obie liczby są wielokrotnościami tej samej liczby, to po odjęciu nadal można wyciągnąć ten wspólny czynnik.

PRZYKŁAD

Udowodnij, że różnica dwóch liczb podzielnych przez $5$ jest podzielna przez $5$ .

Rozwiązanie

Pierwszą liczbę zapisujemy jako $5a$ , a drugą jako $5b$ . Różnica to $5a-5b=5(a-b)$ .

Wskazówka

Dowód kończy się wtedy, gdy zapiszesz wyrażenie jako wymagana liczba razy liczba całkowita.

$5(a-b)$ jest podzielne przez $5$ .

08WYJAŚNIENIE

Jak wygląda pełna odpowiedź dowodowa?

W pełnej odpowiedzi najpierw zapisujesz ogólną postać liczby, potem podstawiasz ją do wyrażenia i na końcu pokazujesz wymagany czynnik.

Zapisz ogólną postać liczby z warunku.

Podstaw ją do wyrażenia z zadania.

Wyciągnij wymagany czynnik przed nawias.

Napisz wniosek o podzielności.

PRZYKŁAD

Udowodnij, że jeśli liczba $n$ jest podzielna przez $4$ , to liczba $3n+8$ jest podzielna przez $4$ .

Rozwiązanie

Skoro $n$ jest podzielna przez $4$ , to $n=4k$ dla pewnego $k\in\mathbb{Z}$ . Podstawiamy: $3n+8=3\cdot4k+8=12k+8=4(3k+2)$ .

Zapis $4(3k+2)$ pokazuje podzielność przez $4$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Liczbę podzielną przez $6$ można ogólnie zapisać jako:

$k+6$

$6k$

$\frac{k}{6}$

$k-6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$6k$

Liczba podzielna przez $6$ jest wielokrotnością $6$ , więc ma postać $6k$ .

PYTANIE 02

Liczba nieparzysta ma postać:

Wybierz ogólną postać liczby nieparzystej.

$2k$

$2k+1$

$k+2$

$4k$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$2k+1$

$2k$ jest parzyste, a $2k+1$ jest o $1$ większe od liczby parzystej.

PYTANIE 03

Wyrażenie $3a+3b$ można zapisać jako:

$3(a+b)$

$6ab$

$3(a-b)$

$a(3+b)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3(a+b)$

W obu składnikach występuje czynnik $3$ , więc $3a+3b=3(a+b)$ .

PYTANIE 04

Który zapis najlepiej kończy dowód, że wyrażenie jest podzielne przez $7$ ?

$7k+3$

$7(k+2)$

$k+7$

$\frac{k}{7}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7(k+2)$

$7(k+2)$ pokazuje, że całe wyrażenie jest iloczynem liczby $7$ i liczby całkowitej.

NA KONIEC

Podsumowanie

W dowodach podzielności zapisujemy liczby jako wielokrotności. Liczba podzielna przez $a$ ma postać $ak$ . Liczba parzysta ma postać $2k$ , a nieparzysta $2k+1$ . Dowód kończy się wtedy, gdy wyrażenie ma widoczny wymagany czynnik.

Zapamiętaj

$ak$ : liczba podzielna przez $a$ .

$2k$ : liczba parzysta.

$2k+1$ : liczba nieparzysta.

$a\cdot(\text{liczba całkowita})$ pokazuje podzielność przez $a$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Jak zapisać liczbę podzielną?

Liczby parzyste i nieparzyste

Suma dwóch liczb parzystych

Suma dwóch liczb nieparzystych

Iloczyn z liczbą parzystą

Suma trzech kolejnych liczb

Różnica dwóch liczb podzielnych przez tę samą liczbę

Jak wygląda pełna odpowiedź dowodowa?

Teraz Twoja kolej

Liczbę podzielną przez 666 można ogólnie zapisać jako:

Liczba nieparzysta ma postać:

Wyrażenie 3a+3b3a+3b3a+3b można zapisać jako:

Który zapis najlepiej kończy dowód, że wyrażenie jest podzielne przez 777?

Podsumowanie

Liczbę podzielną przez $6$ można ogólnie zapisać jako:

Wyrażenie $3a+3b$ można zapisać jako:

Który zapis najlepiej kończy dowód, że wyrażenie jest podzielne przez $7$ ?