Liczby pierwsze i rozkład na czynniki pierwsze

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji rozłożysz liczby na czynniki pierwsze, czyli na takie składniki mnożenia, których nie rozbijamy dalej. To przygotuje cię do liczenia NWD, NWW i sprawdzania ukrytej podzielności.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz liczby pierwsze od złożonych.

Potem sprawdzisz, jakich dzielników trzeba szukać.

Na końcu zapiszesz rozkład z użyciem potęg.

Na start

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki.

Liczba $1$ nie jest pierwsza.

Po tej lekcji:

rozpoznasz liczby pierwsze i złożone
sprawdzisz pierwszość małej liczby
rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od $1$ , która ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: $1$ i samą siebie.

Liczba pierwsza jest większa od $1$ .

Ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki.

Liczba $1$ nie jest liczbą pierwszą.

PRZYKŁAD

Czy $11$ jest liczbą pierwszą?

Rozwiązanie

$11$ jest większe od $1$ . Jej dodatnie dzielniki to $1$ i $11$ . Nie ma innych dodatnich dzielników.

Wskazówka

Pułapka: $1$ ma tylko jeden dodatni dzielnik, więc nie jest pierwsza.

$11$ jest liczbą pierwszą.

02WYJAŚNIENIE

Liczby złożone

Liczba złożona to liczba naturalna większa od $1$ , która ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki.

$12=3\cdot4=2\cdot6=1\cdot12$

PRZYKŁAD

Czy $15$ jest liczbą złożoną?

Rozwiązanie

$15$ jest większe od $1$ . Dzieli się przez $1$ i $15$ , ale też przez $3$ i $5$ .

Zapamiętaj

Pierwsza: dokładnie dwa dodatnie dzielniki.

Złożona: więcej niż dwa dodatnie dzielniki.

$15$ ma więcej niż dwa dzielniki dodatnie, więc jest złożone.

03WYJAŚNIENIE

Jak sprawdzać pierwszość?

Nie trzeba dzielić przez wszystkie mniejsze liczby. Wystarczy sprawdzić dzielniki pierwsze nie większe od pierwiastka z badanej liczby.

$p\le\sqrt{n}$ Gdyby liczba złożona miała oba czynniki większe od swojego pierwiastka, ich iloczyn byłby większy od tej liczby. Dlatego co najmniej jeden dzielnik musi być nie większy od pierwiastka; wystarczy szukać wśród dzielników pierwszych.

PRZYKŁAD

Sprawdź, czy $29$ jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie

$\sqrt{29}$ leży między $5$ i $6$ , więc sprawdzamy dzielniki pierwsze $2,3,5$ . Liczba $29$ nie dzieli się przez żadną z nich.

Wskazówka

Nie każda liczba nieparzysta jest pierwsza. $21=3\cdot7$ .

$29$ jest liczbą pierwszą.

04WYJAŚNIENIE

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych.

$30=2\cdot3\cdot5$

Drzewko rozkładu liczby 84 na czynniki pierwsze 2, 2, 3 i 7.

PRZYKŁAD

Rozłóż $84$ na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

$84=2\cdot42$ , $42=2\cdot21$ , $21=3\cdot7$ . Liczby $2,2,3,7$ są pierwsze.

$84=2\cdot2\cdot3\cdot7=2^2\cdot3\cdot7$ .

05WYJAŚNIENIE

Rozkład metodą dzielenia

Przy większych liczbach wygodnie dzielić przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze tak długo, jak się da.

Zaczynaj od najmniejszych liczb pierwszych.

Dziel tak długo, jak dana liczba pierwsza pasuje.

Powtarzające się czynniki zapisz potęgą.

PRZYKŁAD

Rozłóż $180$ na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

$180:2=90$ , $90:2=45$ , $45:3=15$ , $15:3=5$ . Liczba $5$ jest pierwsza.

$180=2^2\cdot3^2\cdot5$ .

06WYJAŚNIENIE

Ten sam rozkład, różna kolejność

Możesz zacząć rozkład od innego dzielnika, ale końcowy zestaw czynników pierwszych będzie taki sam. Najczytelniej zapisuje się je rosnąco.

PRZYKŁAD

Rozłóż $60$ na czynniki pierwsze dwoma sposobami.

Rozwiązanie

Pierwszy sposób: $60=2\cdot30=2\cdot2\cdot15=2\cdot2\cdot3\cdot5$ . Drugi sposób: $60=6\cdot10=2\cdot3\cdot2\cdot5$ .

Zapamiętaj

Kolejność mnożenia może się różnić.

Rozkład na liczby pierwsze jest ten sam.

$60=2^2\cdot3\cdot5$ w obu sposobach.

07WYJAŚNIENIE

Po co rozkładać liczby?

Rozkład pokazuje, jakie czynniki liczba zawiera. Jeśli rozkład mniejszej liczby mieści się w rozkładzie większej, to mniejsza liczba jest dzielnikiem większej.

PRZYKŁAD

Czy $12$ jest dzielnikiem liczby $180$ ?

Rozwiązanie

$12=2^2\cdot3$ oraz $180=2^2\cdot3^2\cdot5$ . W rozkładzie $180$ są co najmniej dwa czynniki $2$ i jeden czynnik $3$ .

$12$ dzieli $180$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Która liczba jest pierwsza?

$1$

$21$

$29$

$39$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$29$

$29$ ma dokładnie dwa dzielniki dodatnie: $1$ i $29$ .

PYTANIE 02

Rozkład liczby $72$ na czynniki pierwsze to:

$2^3\cdot3^2$

$2^2\cdot3^3$

$8\cdot9$

$2\cdot3\cdot12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$2^3\cdot3^2$

$72=8\cdot9=2^3\cdot3^2$ .

PYTANIE 03

Która liczba nie jest złożona?

Wskaż liczbę, która nie jest złożona.

$4$

$9$

$13$

$15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$13$

$13$ jest liczbą pierwszą, więc nie jest złożona.

PYTANIE 04

Liczba $2^2\cdot3\cdot5$ jest równa:

$30$

$45$

$60$

$90$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$60$

$2^2\cdot3\cdot5=4\cdot3\cdot5=60$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Liczba pierwsza jest większa od $1$ i ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki. Liczba złożona ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki. Rozkład na czynniki pierwsze zapisuje liczbę jako iloczyn liczb pierwszych, a powtarzające się czynniki zapisujemy potęgami.

Zapamiętaj

$1$ nie jest liczbą pierwszą.

$84=2^2\cdot3\cdot7$

$180=2^2\cdot3^2\cdot5$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki

Liczby złożone

Jak sprawdzać pierwszość?

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład metodą dzielenia

Ten sam rozkład, różna kolejność

Po co rozkładać liczby?

Teraz Twoja kolej

Która liczba jest pierwsza?

Rozkład liczby 727272 na czynniki pierwsze to:

Która liczba nie jest złożona?

Liczba 22⋅3⋅52^2\cdot3\cdot522⋅3⋅5 jest równa:

Podsumowanie

Rozkład liczby $72$ na czynniki pierwsze to:

Liczba $2^2\cdot3\cdot5$ jest równa: