Kąt między prostą a płaszczyzną

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się, czym jest kąt między prostą a płaszczyzną. Najważniejsza myśl jest taka: nie mierzysz kąta z całą płaszczyzną naraz, tylko z rzutem tej prostej na płaszczyznę. Potem zobaczysz, jak taki kąt znaleźć w bryle i jak sprowadzić zadanie do trójkąta prostokątnego.

Plan tej lekcji

Najpierw zobaczysz, czym jest rzut prostej na płaszczyznę.

Potem zdefiniujesz kąt między prostą a płaszczyzną.

Następnie znajdziesz taki kąt w prostopadłościanie.

Na końcu obliczysz go z użyciem trygonometrii.

Na start

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą i jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

Ten kąt ma miarę od $0^\circ$ do $90^\circ$ .

Jeśli prosta leży w płaszczyźnie, kąt wynosi $0^\circ$ .

Jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, kąt wynosi $90^\circ$ .

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać i obliczać kąt między prostą a płaszczyzną jako kąt między prostą i jej rzutem na tę płaszczyznę.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Rzut prostej na płaszczyznę

Żeby znaleźć kąt między prostą a płaszczyzną, najpierw szukamy rzutu tej prostej na płaszczyznę. W praktyce w bryłach często oznacza to: koniec odcinka leżący nad płaszczyzną opuszczamy prostopadle na płaszczyznę, a potem łączymy punkty w podstawie.

Pokazać, że kąt między prostą a płaszczyzną mierzymy z rzutem tej prostej na płaszczyznę.

Na rysunku $A$ leży w płaszczyźnie, $B$ nad nią, a $B\prime$ jest rzutem punktu $B$ , czyli $BB\prime$ jest prostopadły do płaszczyzny. Rzutem odcinka $AB$ jest $AB\prime$ , więc szukany kąt ma wierzchołek w $A$ .

$\alpha=\angle(AB,AB')$

Zapamiętaj

Rzut leży w płaszczyźnie.

Kąt z płaszczyzną mierzymy między odcinkiem a jego rzutem.

02WYJAŚNIENIE

Kiedy kąt wynosi $0^\circ$ , a kiedy $90^\circ$ ?

Są dwa przypadki skrajne. Jeśli prosta leży w płaszczyźnie, jej rzut jest tą samą prostą, więc kąt wynosi $0^\circ$ . Jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jej rzut jest punktem, a kąt z płaszczyzną przyjmujemy jako $90^\circ$ . Kąt $0^\circ$ otrzymujemy także dla prostej równoległej do płaszczyzny, nawet jeśli w niej nie leży.

$l\subset \pi \Rightarrow \angle(l,\pi)=0^\circ$

$l\perp \pi \Rightarrow \angle(l,\pi)=90^\circ$

Przykład

Krawędź podstawy sześcianu leży w płaszczyźnie podstawy. Jaki kąt tworzy z tą płaszczyzną?

Rozwiązanie

Krawędź podstawy jest częścią płaszczyzny podstawy.

Jeśli prosta leży w płaszczyźnie, to kąt między prostą a płaszczyzną wynosi $0^\circ$ .

Zatem szukany kąt to $0^\circ$ .

Prosta nie jest uniesiona nad płaszczyznę, więc nie ma nachylenia.

03WYJAŚNIENIE

Kąt przekątnej prostopadłościanu z podstawą

W prostopadłościanie kąt między przekątną bryły a podstawą znajduje się w trójkącie prostokątnym. Jednym bokiem jest wysokość bryły, drugim rzut przekątnej na podstawę, czyli przekątna prostokąta w podstawie.

Pokazać, że kąt między przekątną prostopadłościanu a podstawą mierzymy między przekątną bryły i jej rzutem na podstawę.

Zapamiętaj

Szukany kąt to $\angle GAC$ , a nie kąt narysowany „z całą podstawą”.

Rzut przekątnej bryły na podstawę jest przekątną podstawy.

04WYJAŚNIENIE

Obliczanie kąta z tangensa

Gdy masz trójkąt prostokątny z wysokością bryły i rzutem odcinka na podstawę, często najwygodniej użyć tangensa. Dla kąta nachylenia tangens to wysokość nad podstawą podzielona przez długość rzutu na podstawę.

$\tg\alpha=\frac{\text{wysokość nad płaszczyzną}}{\text{rzut na płaszczyznę}}$

Przykład

W prostopadłościanie przekątna podstawy ma długość $12$ , a wysokość bryły wynosi $5$ . Oblicz tangens kąta $\alpha$ między przekątną bryły a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie

Kąt $\alpha$ mierzymy między przekątną bryły i jej rzutem na podstawę.

Rzut na podstawę ma długość $12$ .

Wysokość nad podstawą ma długość $5$ .

W trójkącie prostokątnym dla kąta $\alpha$ bok naprzeciw ma długość $5$ , a bok przy kącie ma długość $12$ .

Liczymy $\tg\alpha=\frac{5}{12}$ .

Tangens kąta nachylenia mówi, jak duża jest wysokość w porównaniu z rzutem na podstawę.

Wskazówka

Delta podpowiada: kąt z płaszczyzną prawie zawsze sprowadzasz do trójkąta: odcinek, jego rzut i wysokość prostopadła do płaszczyzny.

05WYJAŚNIENIE

Przykład z obliczeniem rzutu w podstawie

Czasem rzut odcinka na podstawę nie jest podany wprost. W prostopadłościanie może być przekątną prostokąta w podstawie, więc trzeba najpierw policzyć ją z twierdzenia Pitagorasa.

Przykład

Prostopadłościan ma podstawę o wymiarach $6$ i $8$ , a wysokość $5$ . Oblicz $\tg\alpha$ , gdzie $\alpha$ jest kątem między przekątną bryły a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie

Rzutem przekątnej bryły na podstawę jest przekątna prostokątnej podstawy.

Liczymy przekątną podstawy z twierdzenia Pitagorasa: $d^2=6^2+8^2$ .

Otrzymujemy $d^2=36+64=100$ , więc $d=10$ .

Wysokość prostopadłościanu wynosi $5$ .

Tangens kąta nachylenia to $\tg\alpha=\frac{\text{wysokość}}{\text{rzut}}=\frac{5}{10}$ .

Skracamy: $\tg\alpha=\frac{1}{2}$ .

Najpierw trzeba znaleźć rzut na podstawę. Dopiero potem używamy trygonometrii do kąta z płaszczyzną.

Wskazówka

Uwaga: Nie dziel wysokości przez przekątną bryły. Tangens kąta z płaszczyzną używa wysokości i rzutu na płaszczyznę, nie całego ukośnego odcinka.

06WYJAŚNIENIE

Kąt krawędzi bocznej ostrosłupa z podstawą

W ostrosłupie kąt między krawędzią boczną a podstawą też mierzysz przez rzut. Jeśli wierzchołek ostrosłupa jest nad środkiem podstawy, rzutem krawędzi bocznej na podstawę jest odcinek od tego środka do odpowiedniego wierzchołka podstawy.

Pokazać kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a płaszczyzną podstawy.

Przykład

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość $SO$ ma $6$ , a odcinek $AO$ ma $8$ . Oblicz $\tg\alpha$ , gdzie $\alpha$ jest kątem między krawędzią $SA$ a płaszczyzną podstawy.

Rozwiązanie

Kąt między krawędzią $SA$ a podstawą mierzymy między $SA$ i jej rzutem $AO$ .

W trójkącie $SAO$ wysokość $SO$ jest prostopadła do podstawy.

Dla kąta $\alpha$ bok naprzeciw ma długość $SO=6$ .

Bok przy kącie ma długość $AO=8$ .

Liczymy $\tg\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ .

Kąt nachylenia krawędzi bocznej zależy od wysokości ostrosłupa i od długości rzutu tej krawędzi w podstawie.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Jeśli prosta przecina płaszczyznę i nie jest do niej prostopadła, kąt między tą prostą a płaszczyzną jest kątem między:

prostą i dowolną prostą w płaszczyźnie

prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę

prostą i krawędzią bryły najbliższą na rysunku

dowolnymi dwoma odcinkami w bryle

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

prostą i jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę

Kąt między prostą a płaszczyzną definiujemy jako kąt między prostą i jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Jeśli prosta leży w płaszczyźnie, to kąt między tą prostą a płaszczyzną wynosi:

$0^\circ$

$30^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$0^\circ$

Prosta leżąca w płaszczyźnie nie jest do niej nachylona, więc kąt wynosi $0^\circ$ .

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to kąt między prostą a płaszczyzną wynosi:

$0^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$90^\circ$

Prostopadłość prostej do płaszczyzny oznacza kąt $90^\circ$ .

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

W prostopadłościanie rzutem przekątnej bryły na podstawę jest:

wysokość bryły

przekątna podstawy

dowolna krawędź boczna

przekątna ściany bocznej

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

przekątna podstawy

Przekątna bryły po zrzutowaniu na podstawę daje przekątną prostokąta w podstawie.

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

W trójkącie wyznaczającym kąt prostej z płaszczyzną rzut na płaszczyznę ma $9$ , a wysokość nad płaszczyzną $12$ . Tangens tego kąta wynosi:

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{9}{21}$

$\frac{12}{21}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{4}{3}$

$\tg\alpha=\frac{\text{wysokość}}{\text{rzut}}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Kąt między prostą a płaszczyzną mierzysz między prostą i jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. W zadaniach z bryłami szukasz trójkąta prostokątnego złożonego z ukośnego odcinka, jego rzutu na podstawę i wysokości prostopadłej do podstawy. Jeśli prosta leży w płaszczyźnie, kąt wynosi $0^\circ$ . Jeśli jest do niej prostopadła, kąt wynosi $90^\circ$ .

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Rzut prostej na płaszczyznę

Kiedy kąt wynosi 0∘0^\circ0∘, a kiedy 90∘90^\circ90∘?

Kąt przekątnej prostopadłościanu z podstawą

Obliczanie kąta z tangensa

Przykład z obliczeniem rzutu w podstawie

Kąt krawędzi bocznej ostrosłupa z podstawą

Teraz Twoja kolej

Zadania utrwalające

Zadania utrwalające 2

Zadania utrwalające 3

Zadania utrwalające 4

Zadania utrwalające 5

Co trzeba zapamiętać?

Kiedy kąt wynosi $0^\circ$ , a kiedy $90^\circ$ ?