Kąt dwuścienny - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozumieć kąt dwuścienny, czyli kąt między dwiema płaszczyznami. Nie będziesz mierzyć go „na oko” między całymi ścianami. Zobaczysz, że trzeba przeciąć obie płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi. Wtedy kąt przestrzenny zamienia się w zwykły kąt płaski.

Plan tej lekcji

Najpierw rozpoznasz dwie płaszczyzny tworzące kąt dwuścienny.

Potem znajdziesz ich wspólną krawędź.

Następnie wykonasz przekrój prostopadły do tej krawędzi.

Na końcu obliczysz kąt z trójkąta prostokątnego.

Na start

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema półpłaszczyznami mającymi wspólną krawędź.

W bryłach wspólną krawędzią często jest krawędź podstawy.

Do obliczeń sprowadzamy go do kąta płaskiego.

Po tej lekcji:

Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać kąt dwuścienny między dwiema płaszczyznami i wyznaczać go przez przekrój prostopadły do ich wspólnej krawędzi.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Czym jest kąt dwuścienny?

Kąt dwuścienny powstaje, gdy dwie płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej. Tę prostą nazywamy krawędzią kąta dwuściennego. W bryłach możesz myśleć o nim jak o kącie między dwiema ścianami.

Pokazać kąt dwuścienny jako kąt między dwiema płaszczyznami mającymi wspólną krawędź.

Zapamiętaj

Krawędź kąta dwuściennego to prosta przecięcia dwóch płaszczyzn.

Sam łuk w przestrzeni jest tylko pomocą. Do obliczeń potrzebny jest odpowiedni przekrój.

02WYJAŚNIENIE

Jak zamienić kąt dwuścienny na kąt płaski?

Żeby zmierzyć kąt dwuścienny, wybieramy płaszczyznę prostopadłą do jego krawędzi. Ta płaszczyzna przecina obie ściany w dwóch prostych. Kąt między tymi prostymi jest miarą kąta dwuściennego.

Pokazać, że kąt dwuścienny mierzymy w przekroju prostopadłym do wspólnej krawędzi.

Dokładniej: wybieramy dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi. W prostopadłym przekroju odpowiadają im dwie półproste. Dla wnętrza bryły wybieramy kąt po stronie jej wnętrza, więc nie zawsze mniejszy kąt między prostymi.

Znajdź wspólną krawędź dwóch płaszczyzn.

Poprowadź przekrój prostopadły do tej krawędzi.

W przekroju zobaczysz dwie proste wychodzące z jednego punktu.

Kąt między tymi prostymi to szukany kąt dwuścienny.

Zapamiętaj

Kąt dwuścienny liczysz w przekroju.

Przekrój musi być prostopadły do wspólnej krawędzi płaszczyzn.

03WYJAŚNIENIE

Kąt między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa

W ostrosłupie kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą ma wspólną krawędź: bok podstawy. Żeby go znaleźć, w ścianie bocznej bierzemy wysokość tej ściany opuszczoną na ten bok, a w podstawie odcinek prostopadły do tego samego boku.

Pokazać, jak znaleźć kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa.

W przykładach z $O$ jako środkiem podstawy i $M$ jako środkiem jej boku zakładamy ostrosłup prawidłowy. W ogólnym ostrosłupie trzeba znaleźć na wspólnej krawędzi punkt, z którego oba odcinki przekroju wychodzą prostopadle do tej krawędzi.

Zapamiętaj

Wspólna krawędź to bok podstawy.

Kąt dwuścienny widzisz w przekroju prostopadłym do tej krawędzi.

W ostrosłupie prawidłowym często pojawia się przekrój przez wierzchołek, środek podstawy i środek boku podstawy.

04WYJAŚNIENIE

Obliczanie kąta dwuściennego z tangensa

Gdy znajdziesz odpowiedni przekrój, zadanie staje się zadaniem z trójkąta prostokątnego. Dla kąta między ścianą boczną a podstawą często używasz tangensa: wysokość ostrosłupa dzielisz przez odległość środka podstawy od boku.

$\tg\alpha=\frac{SO}{OM}$

Przykład

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO$ jest wysokością ostrosłupa, $O$ środkiem podstawy, a $M$ środkiem boku podstawy. Dane są $SO=9$ i $OM=12$ . Oblicz $\tg\alpha$ , gdzie $\alpha$ jest kątem dwuściennym między ścianą boczną a podstawą.

Rozwiązanie

Kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą znajduje się w przekroju $SOM$ .

Odcinek $SO$ jest prostopadły do podstawy, więc trójkąt $SOM$ jest prostokątny.

Dla kąta $\alpha$ przy punkcie $M$ bok naprzeciw ma długość $SO=9$ .

Bok przy kącie ma długość $OM=12$ .

Liczymy $\tg\alpha=\frac{SO}{OM}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ .

Kąt dwuścienny jest większy, gdy ściana boczna jest bardziej stroma, czyli gdy wysokość $SO$ jest duża względem $OM$ .

05WYJAŚNIENIE

Kąt dwuścienny w graniastosłupie prostym

W graniastosłupie prostym ściana boczna jest prostopadła do podstawy. Dlatego kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą wynosi $90^\circ$ . Nie trzeba wtedy nic liczyć.

$\text{ściana boczna}\perp \text{podstawa}$

$\alpha=90^\circ$

Przykład

Jaki jest kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą prostopadłościanu?

Rozwiązanie

Prostopadłościan jest graniastosłupem prostym.

Jego ściany boczne są prostopadłe do podstawy.

Kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą wynosi $90^\circ$ .

W prostopadłościanie ściana boczna stoi pionowo na podstawie, więc kąt między nimi jest prosty.

Wskazówka

Uwaga: Nie każdy ostrosłup ma ścianę boczną prostopadłą do podstawy. Taki automatyczny wniosek działa dla graniastosłupów prostych i prostopadłościanów, ale nie dla dowolnego ostrosłupa.

06WYJAŚNIENIE

Różnica między kątem krawędzi a kątem ściany

Kąt między krawędzią boczną a podstawą to nie to samo co kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą. Pierwszy mierzysz przez rzut krawędzi. Drugi mierzysz w przekroju prostopadłym do wspólnej krawędzi ścian.

Porównać kąt między krawędzią boczną a podstawą z kątem dwuściennym między ścianą boczną a podstawą.

Kąt krawędzi z podstawą: prosta i jej rzut na podstawę.

Kąt ściany z podstawą: dwie płaszczyzny i przekrój prostopadły do wspólnej krawędzi.

W ostrosłupie te kąty zwykle nie są takie same.

Przykład

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pytamy o kąt między ścianą boczną $SAB$ a podstawą $ABCD$ . Czy należy użyć kąta między $SA$ i $AO$ ?

Rozwiązanie

Kąt między $SA$ i $AO$ jest kątem krawędzi bocznej z podstawą.

W zadaniu pytamy o kąt między ścianą boczną i podstawą, czyli o kąt dwuścienny.

Wspólną krawędzią tych płaszczyzn jest $AB$ .

Trzeba wziąć przekrój prostopadły do $AB$ , zwykle przez punkt $M$ , środek $AB$ .

Szukany kąt jest między $SM$ i $OM$ , a nie między $SA$ i $AO$ .

W zadaniach trzeba dokładnie czytać, czy chodzi o krawędź, czy o ścianę.

Wskazówka

Uwaga: Słowo „ściana” w treści zadania zwykle wskazuje na kąt dwuścienny. Słowo „krawędź” wskazuje na kąt między prostą a płaszczyzną.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadania utrwalające

Co tworzy kąt dwuścienny?

dwiema prostymi skośnymi

prostą i płaszczyzną

dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi

dwoma punktami w przestrzeni

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi

Dwie półpłaszczyzny mają wspólną prostą, zwaną krawędzią kąta dwuściennego. Jego miarę wyznaczamy w przekroju prostopadłym do tej krawędzi.

PYTANIE 02

Zadania utrwalające 2

Dwie płaszczyzny tworzące kąt dwuścienny mają wspólną:

krawędź

wysokość

przekątną

średnicę

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

krawędź

Wspólna prosta przecięcia dwóch płaszczyzn jest krawędzią kąta dwuściennego.

PYTANIE 03

Zadania utrwalające 3

Aby zmierzyć kąt dwuścienny, wykonujemy przekrój:

równoległy do wspólnej krawędzi

prostopadły do wspólnej krawędzi

dowolny, byle przechodził przez wierzchołek bryły

zawsze poziomy

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

prostopadły do wspólnej krawędzi

Kąt dwuścienny mierzymy w przekroju prostopadłym do wspólnej krawędzi płaszczyzn.

PYTANIE 04

Zadania utrwalające 4

W prostopadłościanie kąt dwuścienny między ścianą boczną a podstawą wynosi:

$0^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$90^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$90^\circ$

Ściana boczna prostopadłościanu jest prostopadła do podstawy, więc kąt dwuścienny wynosi $90^\circ$ .

PYTANIE 05

Zadania utrwalające 5

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO=6$ , $OM=8$ . Jeśli $\alpha$ jest kątem dwuściennym między ścianą boczną a podstawą, to $\tg\alpha$ wynosi:

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{6}{14}$

$\frac{8}{14}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{3}{4}$

W przekroju $SOM$ mamy $\tg\alpha=\frac{SO}{OM}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ .

NA KONIEC

Co trzeba zapamiętać?

Kąt dwuścienny tworzą dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi, na przykład ściana boczna i podstawa bryły. Jego miarę wyznaczasz w przekroju prostopadłym do krawędzi: mierzysz kąt między półprostymi należącymi do wybranych ścian. W zadaniu o kącie wewnętrznym bryły wybierz kąt leżący wewnątrz bryły. Nie myl kąta ściany z podstawą z kątem krawędzi bocznej z podstawą.