Co będziesz umieć po tej lekcji?
W tej lekcji uporządkujesz podstawowe relacje przestrzenne. Nauczysz się patrzeć na sześcian, prostopadłościan albo ostrosłup nie tylko jak na bryłę, ale jak na układ prostych i płaszczyzn. Najważniejsze będzie rozróżnienie sytuacji, które na rysunku wyglądają podobnie, ale matematycznie znaczą coś innego.
Najpierw odróżnisz prostą od płaszczyzny.
Potem rozpoznasz położenie dwóch prostych w przestrzeni.
Następnie opiszesz położenie prostej względem płaszczyzny.
Na końcu sprawdzisz, jak mogą być położone dwie płaszczyzny.
W przestrzeni dwie proste nie muszą się ani przecinać, ani być równoległe.
Proste skośne to pojęcie, którego nie ma w geometrii płaskiej.
Płaszczyznę w zadaniach często rozpoznajesz jako ścianę bryły.
- Po tej lekcji uczeń umie rozpoznawać położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni oraz wskazywać je na modelu bryły.
Wyjaśnienie krok po kroku
Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.
Prosta, odcinek i płaszczyzna w bryle
Na rysunku bryły widzisz odcinki, ale w zadaniu często myślimy o prostych, które te odcinki zawierają. Ściana bryły leży w pewnej płaszczyźnie. Płaszczyzna jest jak nieskończona kartka papieru: ściana jest tylko jej fragmentem.
Odcinek ma początek i koniec.
Prosta jest nieskończona.
Płaszczyzna też jest nieskończona, nawet jeśli na rysunku widzisz tylko ścianę bryły.
Dwie proste w przestrzeni: trzy możliwości
Na płaszczyźnie dwie proste albo się przecinają, albo są równoległe. W przestrzeni dochodzi trzecia możliwość: proste skośne. Proste skośne nie przecinają się i nie są równoległe, bo nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Opis trzech przypadków dotyczy dwóch różnych prostych. Dwie proste mogą też się pokrywać, czyli być tą samą prostą.
Proste przecinające się mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Proste równoległe leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.
Proste skośne nie przecinają się i nie leżą w jednej płaszczyźnie.
W sześcianie krawędzie i są równoległe, a krawędzie i są skośne. Wyjaśnij różnicę.
Krawędzie i leżą w tej samej dolnej ścianie sześcianu.
Nie przecinają się i mają ten sam kierunek, więc są równoległe.
Krawędź leży na dolnej przedniej krawędzi sześcianu.
Krawędź jest pionową tylną krawędzią.
Te proste się nie przecinają i nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Dlatego i są skośne.
Sam brak przecięcia nie wystarcza do równoległości. W przestrzeni trzeba jeszcze sprawdzić, czy proste leżą w jednej płaszczyźnie.
Uwaga: Nie mów, że każde dwie proste, które się nie przecinają, są równoległe. W przestrzeni mogą być skośne.
Prosta względem płaszczyzny
Prosta może leżeć w płaszczyźnie, przecinać płaszczyznę w jednym punkcie albo być do niej równoległa. Na bryłach najłatwiej widzieć to przez krawędzie i ściany.
Prosta leży w płaszczyźnie, gdy wszystkie jej punkty należą do tej płaszczyzny.
Prosta przecina płaszczyznę, gdy ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny.
Prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy nie ma z nią punktów wspólnych i zachowuje ten sam kierunek względem prostej leżącej w tej płaszczyźnie.
W prostopadłościanie rozważ dolną ścianę . Jak położone są proste , i względem płaszczyzny ?
Prosta zawiera krawędź dolnej ściany, więc leży w płaszczyźnie .
Prosta wychodzi z punktu pionowo do góry, więc ma z płaszczyzną jeden punkt wspólny: .
Dlatego przecina płaszczyznę .
Prosta jest górną krawędzią równoległą do .
Nie leży w dolnej płaszczyźnie i jej nie przecina, więc jest równoległa do płaszczyzny .
Względem tej samej płaszczyzny różne krawędzie tej samej bryły mogą mieć trzy różne położenia.
Dwie płaszczyzny w przestrzeni
Dwie płaszczyzny mogą być równoległe, mogą się pokrywać albo przecinać. Jeśli dwie różne płaszczyzny się przecinają, ich częścią wspólną jest prosta, a nie pojedynczy punkt.
W sześcianie rozważ dolną ścianę i przednią ścianę . Jaka jest ich część wspólna?
Dolna ściana leży w jednej płaszczyźnie.
Przednia ściana leży w drugiej płaszczyźnie.
Obie ściany mają wspólną krawędź .
Dlatego częścią wspólną tych dwóch płaszczyzn jest prosta .
Dwie sąsiednie ściany bryły przecinają się wzdłuż krawędzi.
Prostopadłość w przestrzeni
W przestrzeni prosta może być prostopadła do płaszczyzny. Oznacza to, że tworzy kąt prosty z każdą prostą leżącą w tej płaszczyźnie i przechodzącą przez punkt przecięcia. W bryłach najczęściej widzisz to jako krawędź boczną prostopadłą do podstawy.
Krawędź boczna graniastosłupa prostego jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Wysokość ostrosłupa też jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Teraz Twoja kolej
Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.
Zadania utrwalające
Dwie proste w przestrzeni, które nie przecinają się i nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy:
równoległymi
prostopadłymi
skośnymi
pokrywającymi się
Sprawdź odpowiedź
skośnymi
Proste skośne nie przecinają się i nie są równoległe, bo nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Zadania utrwalające 2
Jeśli prosta ma z płaszczyzną dokładnie jeden punkt wspólny, to:
leży w tej płaszczyźnie
przecina tę płaszczyznę
jest równoległa do tej płaszczyzny
pokrywa się z tą płaszczyzną
Sprawdź odpowiedź
przecina tę płaszczyznę
Dokładnie jeden punkt wspólny oznacza przecięcie prostej z płaszczyzną.
Zadania utrwalające 3
Dwie różne płaszczyzny, które się przecinają, mają część wspólną będącą:
punktem
odcinkiem
prostą
kątem
Sprawdź odpowiedź
prostą
Dwie różne przecinające się płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej.
Zadania utrwalające 4
W sześcianie dolna i górna ściana są:
przecinające się
równoległe
skośne
prostopadłe do tej samej krawędzi, więc przecinające się
Sprawdź odpowiedź
równoległe
Dolna i górna ściana sześcianu leżą w równoległych płaszczyznach i nie mają punktów wspólnych.
Co trzeba zapamiętać?
W przestrzeni proste mogą być przecinające się, równoległe albo skośne. Prosta względem płaszczyzny może leżeć w tej płaszczyźnie, przecinać ją w jednym punkcie albo być do niej równoległa. Dwie różne płaszczyzny są równoległe albo przecinają się wzdłuż prostej. W zadaniach maturalnych najczęściej rozpoznajesz te relacje na sześcianie, prostopadłościanie albo ostrosłupie.