Twierdzenie Talesa - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać układ Talesa i zapisywać proporcje odcinków. Będziesz liczyć fragmenty ramion kąta oraz boki trójkąta przeciętego odcinkiem równoległym do podstawy.

Na start

Tales wymaga równoległości

odcinki na jednym ramieniu odpowiadają odcinkom na drugim

możesz używać fragmentów albo całych odcinków od wierzchołka

Po tej lekcji:

rozpoznasz układ Talesa
zapiszesz proporcje odcinków na ramionach kąta
zastosujesz Talesa w trójkącie

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Podstawowy układ Talesa

Twierdzenie Talesa dotyczy dwóch ramion kąta przeciętych prostymi równoległymi. Równoległe proste wyznaczają na ramionach odcinki proporcjonalne.

Dwa ramiona kąta przecięte dwiema prostymi równoległymi z podpisanymi odcinkami OA, AB, OC i CD.

W zapisie z punktami $O,A,B,C,D$ punkty $O,A,B$ leżą kolejno na jednym ramieniu kąta, a $O,C,D$ na drugim; odcinki $AC$ i $BD$ są równoległe. Uważaj: $OB$ oznacza całość od wierzchołka, natomiast $AB$ tylko odcinek między równoległymi, więc $OB=OA+AB$ .

$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$

odcinki bliżej wierzchołka odpowiadają sobie

odcinki między prostymi równoległymi też odpowiadają sobie

02WYJAŚNIENIE

Proporcja z fragmentów

Jeśli używasz fragmentów między kolejnymi prostymi, trzymaj ten sam typ odcinka po obu stronach proporcji.

$OA=3,\quad AB=5,\quad OC=6,\quad CD=x$

$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$

$\frac{3}{5}=\frac{6}{x}$

$x=10$

Wskazówka

Nie mieszaj fragmentu z całym odcinkiem od wierzchołka w tej samej proporcji.

03WYJAŚNIENIE

Proporcja z całych odcinków

Możesz też porównywać całe odcinki od wierzchołka do pierwszej i drugiej prostej równoległej.

$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$

$OA=4,\quad OB=10,\quad OC=6,\quad OD=x$

$\frac{4}{10}=\frac{6}{x}$

$x=15$

Zapamiętaj

po obu stronach proporcji porównuj odcinki tego samego typu

04WYJAŚNIENIE

Tales w trójkącie

Gdy w trójkącie poprowadzono odcinek równoległy do jednego boku, powstaje mniejszy trójkąt podobny do całego.

Trójkąt ABC z odcinkiem DE równoległym do BC i wyróżnionym mniejszym trójkątem ADE.

$DE\parallel BC$

$\triangle ADE\sim\triangle ABC$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

05WYJAŚNIENIE

Bok w trójkącie z równoległą

W trójkącie najczytelniej pisać proporcję mały trójkąt do dużego trójkąta po obu stronach.

$AD=6,\quad AB=9,\quad AE=8,\quad AC=x$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

$\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$

$x=12$

Wskazówka

Zapis mały do dużego po obu stronach zmniejsza ryzyko pomylenia odcinków.

06WYJAŚNIENIE

Fragmenty boków trójkąta

Jeśli odcinek równoległy dzieli dwa boki trójkąta, fragmenty tych boków także są proporcjonalne.

$DE\parallel BC$

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\frac{4}{6}=\frac{x}{9}$

$x=6$

Wskazówka

Jeśli używasz fragmentów, nie podstawiaj całego boku zamiast jednego fragmentu.

07WYJAŚNIENIE

Odwrotność twierdzenia Talesa

Jeśli punkty dzielą dwa boki trójkąta w tej samej proporcji, to odcinek łączący te punkty jest równoległy do trzeciego boku.

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow DE\parallel BC$

$\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\quad \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

równe ilorazy pozwalają stwierdzić równoległość

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Całe boki w trójkącie

W trójkącie $ABC$ , $DE\parallel BC$ , $AD=4$ , $AB=10$ , $AE=6$ . Ile wynosi $AC$ ?

$12$

$15$

$18$

$24$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$15$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ , więc $\frac{4}{10}=\frac{6}{AC}$ i $AC=15$ .

PYTANIE 02

Fragmenty na ramionach kąta

Na ramionach kąta proste równoległe wyznaczają odcinki $OA=3$ , $AB=6$ , $OC=5$ , $CD=x$ . Ile wynosi $x$ ?

$8$

$10$

$12$

$15$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$10$

$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$ , więc $\frac{3}{6}=\frac{5}{x}$ i $x=10$ .

PYTANIE 03

Fragmenty boków trójkąta

W trójkącie $ABC$ , $DE\parallel BC$ . Dane są $AD=2$ , $DB=3$ , $AE=4$ , $EC=x$ . Ile wynosi $x$ ?

$4$

$5$

$6$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$6$

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ , więc $\frac{2}{3}=\frac{4}{x}$ i $x=6$ .

PYTANIE 04

Odwrotność Talesa

W trójkącie $ABC$ punkty $D\in AB$ , $E\in AC$ . Dane są $AD=5,\ DB=10,\ AE=6,\ EC=12$ . Który wniosek jest poprawny?

$DE\parallel BC$

$DE\perp BC$

$AB=AC$

nie da się nic stwierdzić

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$DE\parallel BC$

$\frac{AD}{DB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ oraz $\frac{AE}{EC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ , więc z odwrotności Talesa $DE\parallel BC$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Twierdzenie Talesa działa w układzie prostych równoległych przecinających ramiona kąta albo boki trójkąta. Najważniejsze jest konsekwentne wybranie proporcji: z fragmentów albo z całych odcinków od wierzchołka.

Zapamiętaj

$\frac{OA}{AB}=\frac{OC}{CD}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$