Cechy podobieństwa trójkątów - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się sprawdzać podobieństwo trójkątów bez mierzenia wszystkich elementów. Użyjesz cech kąt-kąt, bok-bok-bok oraz bok-kąt-bok, a potem policzysz brakujący bok z proporcji.

Na start

równe kąty często wystarczają do podobieństwa

boki trzeba porównywać w tej samej kolejności

zapis podobieństwa ustala odpowiadające wierzchołki

Po tej lekcji:

rozpoznasz podobieństwo trójkątów z kątów i boków
odczytasz odpowiadające wierzchołki z zapisu podobieństwa
obliczysz brakujący bok z proporcji

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kolejność liter ma znaczenie

Zapis podobieństwa mówi, które wierzchołki i boki sobie odpowiadają. Dzięki temu nie trzeba zgadywać z wyglądu rysunku.

$\triangle ABC\sim\triangle DEF$

$A\leftrightarrow D,\quad B\leftrightarrow E,\quad C\leftrightarrow F$

$AB\leftrightarrow DE,\quad BC\leftrightarrow EF,\quad AC\leftrightarrow DF$

jeśli $\triangle ABC\sim\triangle PQR$ , to bokowi $AC$ odpowiada $PR$

Wskazówka

Jeśli podano zapis podobieństwa, korzystaj z kolejności liter. Jest pewniejsza niż patrzenie na rysunek.

02WYJAŚNIENIE

Cecha kąt-kąt

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne. Trzeci kąt też musi się zgadzać, bo suma kątów w trójkącie jest stała.

Dwa trójkąty różnej wielkości z dwiema parami równych kątów czterdzieści i osiemdziesiąt stopni.

$\alpha=\alpha',\quad \beta=\beta'$

$\Rightarrow \triangle ABC\sim\triangle DEF$

$40^\circ$ i $80^\circ$ w obu trójkątach wystarczają do podobieństwa

03WYJAŚNIENIE

Cecha bok-bok-bok

Jeśli wszystkie trzy pary odpowiadających boków mają ten sam iloraz, trójkąty są podobne.

$\frac{a'}{a}=\frac{b'}{b}=\frac{c'}{c}=k$

$\frac{6}{3}=2,\quad \frac{10}{5}=2,\quad \frac{12}{6}=2$

trójkąty o bokach $3,\ 5,\ 6$ oraz $6,\ 10,\ 12$ są podobne

Wskazówka

Porównuj najmniejszy bok z najmniejszym, średni ze średnim i największy z największym.

04WYJAŚNIENIE

Gdy jedna skala nie pasuje

Wystarczy jedna para boków z innym ilorazem, żeby trójkąty nie były podobne z cechy bok-bok-bok.

$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

$\frac{14}{8}\neq\frac{3}{2}$

trójkąty o bokach $4,\ 6,\ 8$ oraz $6,\ 9,\ 14$ nie mają jednej wspólnej skali

05WYJAŚNIENIE

Cecha bok-kąt-bok

Dwie pary boków muszą być proporcjonalne, a równy kąt musi leżeć między tymi bokami. Wtedy trójkąty są podobne.

Dwa trójkąty z równym kątem między parami proporcjonalnych boków.

$\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$

$\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

kąt między porównywanymi bokami jest taki sam, więc działa cecha bok-kąt-bok

Wskazówka

Jeśli równy jest inny kąt, ta cecha nie działa w tej postaci.

06WYJAŚNIENIE

Brakujący bok z proporcji

Po wykazaniu podobieństwa zapisujesz proporcję z odpowiadających boków. Pilnuj tej samej kolejności w obu ułamkach.

Dwa podobne trójkąty z danymi odpowiadającymi bokami sześć, dziewięć, dziesięć oraz szukanym bokiem x.

$\frac{10}{6}=\frac{x}{9}$

$6x=10\cdot 9$

$x=15$

Wskazówka

Możesz też policzyć skalę $k=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ i pomnożyć $9\cdot\frac{5}{3}$ .

07WYJAŚNIENIE

Trójkąty prostokątne

Dwa trójkąty prostokątne mają już po jednym równym kącie. Jeśli mają jeszcze jeden taki sam kąt ostry, są podobne z cechy kąt-kąt.

$90^\circ$ w obu trójkątach

$35^\circ$ w obu trójkątach

dwie pary równych kątów dają podobieństwo

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Cecha kąt-kąt

Trójkąty mają kąty $50^\circ,\ 60^\circ,\ 70^\circ$ oraz $50^\circ,\ 70^\circ,\ 60^\circ$ . Czy są podobne?

tak, z cechy kąt-kąt

tak, z cechy bok-bok-bok

nie, bo kąty są w innej kolejności

nie da się ustalić

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

tak, z cechy kąt-kąt

Trójkąty mają te same miary kątów, więc są podobne z cechy kąt-kąt.

PYTANIE 02

Cecha bok-bok-bok

Trójkąty mają boki $2,\ 3,\ 4$ oraz $6,\ 9,\ 12$ . Skala z pierwszego do drugiego wynosi:

$2$

$3$

$4$

$6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

$\frac{6}{2}=3,\quad \frac{9}{3}=3,\quad \frac{12}{4}=3$ .

PYTANIE 03

Bok z podobieństwa

Trójkąty podobne mają odpowiadające boki $5$ i $15$ . Inny bok pierwszego trójkąta ma długość $7$ . Odpowiadający bok drugiego ma długość:

$14$

$17$

$21$

$35$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$21$

$k=\frac{15}{5}=3$ , więc $7\cdot 3=21$ .

PYTANIE 04

Warunek w cesze bok-kąt-bok

W cesze bok-kąt-bok równy kąt musi:

leżeć między porównywanymi bokami

być dowolnym kątem trójkąta

być zawsze kątem prostym

mieć miarę $60^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

leżeć między porównywanymi bokami

Cecha bok-kąt-bok wymaga proporcjonalności dwóch par boków i równości kąta między tymi bokami.

NA KONIEC

Podsumowanie

Trójkąty podobne mają równe odpowiadające kąty i proporcjonalne odpowiadające boki. Po wykazaniu podobieństwa brakujący bok liczysz z proporcji.

Zapamiętaj

kąt-kąt: dwie pary równych kątów

bok-bok-bok: jedna skala dla wszystkich boków

bok-kąt-bok: kąt między proporcjonalnymi bokami