Pola figur podobnych - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się, dlaczego pola figur podobnych zmieniają się inaczej niż długości. Jeśli długości rosną w skali $k$ , to pola rosną w skali $k^2$ .

Na start

długości zmieniają się w skali $k$

pola zmieniają się w skali $k^2$

ze stosunku pól wyciągasz pierwiastek, żeby dostać skalę długości

Po tej lekcji:

obliczysz pole figury podobnej ze skali długości
wyznaczysz skalę długości ze stosunku pól
odróżnisz zmianę obwodu od zmiany pola

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Dlaczego pojawia się kwadrat skali?

Pole zależy od dwóch wymiarów. Gdy oba wymiary powiększasz w tej samej skali, mnożysz pole przez tę skalę dwa razy.

Dwa podobne prostokąty pokazujące skalę długości trzy i dziewięciokrotny wzrost pola.

$P_2=k^2\cdot P_1$

$k=3\Rightarrow k^2=9$

$10\text{ cm}^2\cdot 9=90\text{ cm}^2$

02WYJAŚNIENIE

Wzór na stosunek pól

Jeśli dwie figury są podobne w skali $k$ , to stosunek ich pól jest równy $k^2$ .

$\frac{P_2}{P_1}=k^2$

$k=4\Rightarrow k^2=16$

$P_1=7\text{ cm}^2$

$P_2=16\cdot 7=112\text{ cm}^2$

Wskazówka

Do pól nie używasz samego $k$ , tylko $k^2$ .

03WYJAŚNIENIE

Pomniejszenie figury

Przy pomniejszeniu skala długości jest ułamkiem. Pole też się zmniejsza, ale według kwadratu tego ułamka.

$k=\frac{1}{3}$

$k^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$

$81\cdot\frac{1}{9}=9$

Zapamiętaj

pomniejszenie długości $3$ razy daje pole mniejsze $9$ razy

04WYJAŚNIENIE

Skala z podanych pól

Jeśli znasz pola figur podobnych, najpierw liczysz stosunek pól. Skala długości jest pierwiastkiem z tego stosunku.

$\frac{P_2}{P_1}=k^2$

$k=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$

$\frac{108}{12}=9$

$k=3$

Wskazówka

Stosunek pól to $k^2$ , a nie $k$ .

05WYJAŚNIENIE

Pola trójkątów podobnych

Ta sama zasada działa dla trójkątów. Najpierw znajdź skalę z odpowiadających boków, a dopiero potem podnieś ją do kwadratu dla pól.

$k=\frac{15}{5}=3$

$k^2=9$

$P_2=6\cdot 9=54$

06WYJAŚNIENIE

Obwód i pole zmieniają się inaczej

Obwód jest długością, więc zmienia się tak jak skala długości. Pole zależy od dwóch wymiarów, więc zmienia się jak kwadrat skali.

Dwie podobne figury z informacją, że obwód mnoży się przez pięć, a pole przez dwadzieścia pięć.

$\frac{O_2}{O_1}=k$

$\frac{P_2}{P_1}=k^2$

$k=5\Rightarrow O_2=8\cdot 5=40$

$P_2=3\cdot 25=75$

07WYJAŚNIENIE

Gdy pole jest dane jako wielokrotność

Jeśli pole jednej figury jest podaną liczbę razy większe od pola drugiej, skala długości jest pierwiastkiem z tej liczby.

$\frac{P_B}{P_A}=16$

$k^2=16$

$k=4$

Wskazówka

Jeśli pole jest $16$ razy większe, boki są $4$ razy większe.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pole większej figury

Dwie figury są podobne w skali $k=3$ , z pierwszej do drugiej. Pole pierwszej figury wynosi $5$ . Pole drugiej figury wynosi:

$8$

$15$

$30$

$45$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$45$

$3^2=9$ , więc $5\cdot 9=45$ .

PYTANIE 02

Pomniejszenie pola

Figura została pomniejszona w skali $k=\frac{1}{2}$ . Jej pole było równe $40$ . Pole po pomniejszeniu wynosi:

$20$

$10$

$5$

$80$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$10$

$\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ , więc $40\cdot\frac{1}{4}=10$ .

PYTANIE 03

Skala z pól

Pola dwóch figur podobnych wynoszą $7$ i $63$ . Skala z mniejszej do większej wynosi:

$3$

$6$

$9$

$56$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$3$

$\frac{63}{7}=9$ . Stosunek pól to $k^2$ , więc $k=3$ .

PYTANIE 04

Obwód i pole

Dwie figury są podobne w skali $k=4$ . Obwód pierwszej wynosi $10$ , a pole pierwszej wynosi $6$ . Obwód i pole drugiej wynoszą:

$40\text{ i }24$

$14\text{ i }10$

$40\text{ i }96$

$160\text{ i }96$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$40\text{ i }96$

Obwód mnożymy przez $4$ : $10\cdot 4=40$ . Pole mnożymy przez $4^2=16$ : $6\cdot 16=96$ .

PYTANIE 05

Pole większe wiele razy

Pole większego z dwóch podobnych trójkątów jest $25$ razy większe od pola mniejszego. Odpowiadający bok mniejszego trójkąta ma długość $8$ . Odpowiadający bok większego ma długość:

$16$

$25$

$40$

$200$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$40$

Stosunek pól to $25$ , więc skala długości to $\sqrt{25}=5$ . Bok większego trójkąta ma długość $8\cdot 5=40$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W figurach podobnych długości zmieniają się w skali $k$ , a pola w skali $k^2$ . Obwód zachowuje się jak długość, więc nie wolno liczyć pola tak samo jak obwodu.

Zapamiętaj

$P_2=k^2\cdot P_1$

$k=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$

$\frac{O_2}{O_1}=k,\quad \frac{P_2}{P_1}=k^2$