Skala i podobieństwo figur - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będzie w tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać figury o tym samym kształcie i różnych rozmiarach. Będziesz dobierać odpowiadające boki, liczyć skalę podobieństwa i używać jej w zadaniach z mapą oraz modelami.

Na start

figury podobne mają ten sam kształt

odpowiadające długości zmieniają się w jednej skali

skala musi być liczona z odpowiadających boków

Po tej lekcji:

rozpoznasz figury podobne
wyznaczysz skalę podobieństwa z odpowiadających boków
obliczysz brakującą długość w figurze podobnej

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Co znaczy podobieństwo?

Dwie figury są podobne, jeśli jedna jest powiększoną albo pomniejszoną wersją drugiej. Kąty zostają takie same, a wszystkie odpowiadające długości są pomnożone przez tę samą liczbę.

Dwa podobne prostokąty z bokami trzy i pięć oraz sześć i dziesięć, połączone strzałką razy dwa.

$\frac{6}{3}=2$

$\frac{10}{5}=2$

oba ilorazy są równe, więc prostokąty są podobne w skali $2$

02WYJAŚNIENIE

Skala podobieństwa

Skala podobieństwa mówi, ile razy długość w pierwszej figurze trzeba pomnożyć, żeby dostać odpowiadającą długość w drugiej figurze.

$k=\frac{\text{długość po zmianie}}{\text{odpowiadająca długość początkowa}}$

$k=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2{,}5$

$k>1$ oznacza powiększenie

$0<k<1$ oznacza pomniejszenie

Wskazówka

Skalę licz tylko z boków, które sobie odpowiadają. Przypadkowe porównanie długości może dać fałszywy wynik.

03WYJAŚNIENIE

Odpowiadające boki

W podobnych trójkątach odpowiadają sobie boki w tym samym miejscu kształtu. Bez rysunku często najbezpieczniej porównać najkrótszy bok z najkrótszym, średni ze średnim i najdłuższy z najdłuższym.

Dwa podobne trójkąty prostokątne z odpowiadającymi bokami trzy, cztery, pięć oraz sześć, osiem, dziesięć.

$k=\frac{6}{3}=2$

$4\cdot 2=8$

$5\cdot 2=10$

04WYJAŚNIENIE

Brakujący bok ze skali

Gdy znasz skalę, długość w figurze po zmianie liczysz przez mnożenie. Jeśli wracasz z większej figury do mniejszej, dzielisz przez skalę podaną w przeciwnym kierunku.

z pierwszej figury do drugiej: $k=3$

$7\cdot 3=21$

z dużej figury do małej przy skali $4$ : $28:4=7$

05WYJAŚNIENIE

Skala mapy

Skala mapy mówi, ile razy rzeczywistość została pomniejszona. W zapisie skali po obu stronach są te same jednostki.

Schemat mapy w skali jeden do pięćdziesięciu tysięcy z odcinkiem sześć centymetrów i wynikiem trzy kilometry.

$1:50000$

$1\text{ cm na mapie}=50000\text{ cm w terenie}$

$6\cdot 50000=300000\text{ cm}=3\text{ km}$

Wskazówka

Zapis $1:50000$ nie oznacza od razu metrów. Najpierw dostajesz centymetry w terenie.

06WYJAŚNIENIE

Podobieństwo a przystawanie

Figury przystające mają ten sam kształt i ten sam rozmiar. Figury podobne mają ten sam kształt, ale rozmiar może być inny.

figury przystające są podobne w skali $k=1$

figury podobne mogą mieć skalę $k\neq 1$

$\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$ , więc kwadraty o bokach $4$ i $10$ są podobne, ale nie przystające

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Skala prostokątów

Prostokąt $A$ ma boki $4\text{ cm}$ i $7\text{ cm}$ . Prostokąt $B$ ma boki $12\text{ cm}$ i $21\text{ cm}$ . Skala z $A$ do $B$ wynosi:

$2$

$3$

$4$

$7$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3$

$\frac{12}{4}=3$ oraz $\frac{21}{7}=3$ , więc skala wynosi $3$ .

PYTANIE 02

Pomniejszenie

Dwie figury są podobne w skali $k=\frac{1}{2}$ , z pierwszej do drugiej. Bok pierwszej figury ma długość $18\text{ cm}$ . Odpowiadający bok drugiej figury ma długość:

$36\text{ cm}$

$18\text{ cm}$

$9\text{ cm}$

$6\text{ cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$9\text{ cm}$

$18\cdot \frac{1}{2}=9$ .

PYTANIE 03

Mapa

Na mapie w skali $1:200000$ odległość wynosi $4\text{ cm}$ . Rzeczywista odległość wynosi:

$800\text{ m}$

$8\text{ km}$

$80\text{ km}$

$800\text{ km}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$8\text{ km}$

$4\cdot 200000=800000\text{ cm}=8000\text{ m}=8\text{ km}$ .

PYTANIE 04

Podobieństwo i przystawanie

Które zdanie jest prawdziwe?

Każde figury podobne są przystające.

Każde figury przystające są podobne.

Figury podobne zawsze mają równe pola.

Figury podobne zawsze mają skalę $0$ .

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

Każde figury przystające są podobne.

Figury przystające mają ten sam kształt i rozmiar, więc są podobne w skali $1$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Figury podobne mają ten sam kształt. Odpowiadające kąty są równe, a odpowiadające boki są proporcjonalne. Skala podobieństwa jest ilorazem odpowiadających sobie długości.

Zapamiętaj

$k>1$ oznacza powiększenie

$0<k<1$ oznacza pomniejszenie

$1:n$ na mapie używa tych samych jednostek po obu stronach