Zależność pól i objętości brył podobnych

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Zobaczysz, że powiększenie bryły w skali długości inaczej wpływa na pole i objętość. Długości zmieniają się jak $k$ , pola jak $k^2$ , a objętości jak $k^3$ .

Na start

$\frac{l_2}{l_1}=k$

$\frac{P_2}{P_1}=k^2$

$\frac{V_2}{V_1}=k^3$

Po tej lekcji:

odróżnisz skalę długości, pól i objętości
obliczysz pole i objętość bryły podobnej
wyznaczysz skalę długości z pól lub objętości

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Jedna skala, trzy różne skutki

Jeśli każdą długość mnożysz przez $2$ , pole rośnie $4$ razy, a objętość $8$ razy.

Dwa sześciany pokazujące zmianę długości razy 2, pola razy 4 i objętości razy 8.

$l:\cdot k$

$P:\cdot k^2$

$V:\cdot k^3$

02WYJAŚNIENIE

Pole zmienia się jak $k^2$

Pole jest dwuwymiarowe. Jeśli oba wymiary ściany zwiększamy $k$ razy, w polu pojawiają się dwa czynniki $k$ .

$P_{2}=k^{2}P_{1}$

Dla $k=4$ i $P_1=18\ \text{cm}^2$ mamy $P_2=4^2\cdot18=288\ \text{cm}^2$ .

Wskazówka

Nie mnoż pola przez samą skalę długości. Pole mnożysz przez kwadrat skali.

03WYJAŚNIENIE

Objętość zmienia się jak $k^3$

Objętość zależy od trzech wymiarów. Dwukrotne zwiększenie każdego z nich daje osiem małych sześcianów w większym.

Sześcian 1 na 1 na 1 i sześcian 2 na 2 na 2 podzielony na osiem małych sześcianów.

$V_{2}=k^{3}V_{1}$

Dla $k=3$ i $V_1=20\ \text{cm}^3$ mamy $V_2=3^3\cdot20=540\ \text{cm}^3$ .

04WYJAŚNIENIE

Jak znaleźć skalę z pola albo objętości?

Stosunek pól to jeszcze nie skala długości. Ze stosunku pól bierzesz pierwiastek kwadratowy, a ze stosunku objętości pierwiastek trzeciego stopnia.

$\frac{P_2}{P_1}=k^2\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}$

$\frac{V_2}{V_1}=k^3\quad\Rightarrow\quad k=\sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$

Jeśli stosunek pól wynosi $9$ , to skala długości wynosi $3$ .

05WYJAŚNIENIE

Ze skali objętości do skali pola

Gdy znasz tylko stosunek objętości, najpierw odzyskaj skalę długości, a dopiero potem oblicz skalę pól.

Schemat przejścia od objętości razy 64 przez skalę 4 do pola razy 16.

$k^3=64\quad\Rightarrow\quad k=4$

$k^2=16$

06WYJAŚNIENIE

Pomniejszenie działa tak samo

Jeśli skala jest ułamkiem, podnosisz ten ułamek do kwadratu dla pola albo do sześcianu dla objętości.

$k=\frac{1}{2}$

$P:\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

$V:\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pole przy skali

Bryły są podobne w skali $k=5$ . Ile razy większe jest pole powierzchni drugiej bryły?

$5$

$10$

$25$

$125$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$25$

Pole zmienia się w skali $k^2$ , więc $5^2=25$ .

PYTANIE 02

Objętość przy skali

Bryły są podobne w skali $k=2$ . Ile razy większa jest objętość drugiej bryły?

$2$

$4$

$6$

$8$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: D

$8$

Objętość zmienia się w skali $k^3$ , więc $2^3=8$ .

PYTANIE 03

Skala z pól

Pola powierzchni dwóch podobnych brył są w stosunku $49:1$ . Skala długości większej bryły do mniejszej wynosi:

$7$

$14$

$49$

$343$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$7$

$k^2=49$ , więc $k=7$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Przy bryłach podobnych zawsze ustal, czy zadanie pyta o długość, pole czy objętość. Ta decyzja wybiera odpowiednią potęgę skali.

Zapamiętaj

$l:\ k$

$P:\ k^2$

$V:\ k^3$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Jedna skala, trzy różne skutki

Pole zmienia się jak k2k^2k2

Objętość zmienia się jak k3k^3k3

Jak znaleźć skalę z pola albo objętości?

Ze skali objętości do skali pola

Pomniejszenie działa tak samo

Teraz Twoja kolej

Pole przy skali

Objętość przy skali

Skala z pól

Podsumowanie

Pole zmienia się jak $k^2$

Objętość zmienia się jak $k^3$