Zadania mieszane ze stereometrii - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Połączysz kilka narzędzi naraz: wzory na objętości, przekątne, Pitagorasa i podobieństwo brył. Najpierw ustalisz, czego brakuje, a dopiero potem podstawisz dane do wzoru.

Na start

Rozpoznaj bryłę i szukaną wielkość.

Jeśli brakuje długości, szukaj trójkąta prostokątnego albo skali.

Na końcu sprawdź jednostkę wyniku.

Po tej lekcji:

połączysz wzory stereometryczne z twierdzeniem Pitagorasa
rozpoznasz brakujące długości przed liczeniem pola lub objętości
użyjesz podobieństwa zamiast liczenia całej bryły od nowa

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Strategia do zadania stereometrycznego

Zanim zaczniesz liczyć, ustal bryłę, dane długości i to, czy szukasz długości, pola czy objętości.

Rozpoznaj bryłę.

Zaznacz dane na rysunku.

Sprawdź, czy do wzoru brakuje długości.

Ujednolić jednostki przed podstawieniem.

Zapamiętaj

$\text{długość: cm}$

$\text{pole: cm}^2$

$\text{objętość: cm}^3$

02WYJAŚNIENIE

Przekątna prostopadłościanu: dwa razy Pitagoras

Przekątną prostopadłościanu można znaleźć przez przekątną podstawy i wysokość. Gotowy skrót łączy oba kroki.

Prostopadłościan 3 na 4 na 12 z przekątną podstawy i przekątną bryły.

W przykładzie krawędzie prostopadłościanu mają długości $a=3$ , $b=4$ i $h=12$ .

$d=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$

$d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$

03WYJAŚNIENIE

Sześcian: przekątna ściany i przekątna bryły

W sześcianie warto znać dwa charakterystyczne wyniki. Pierwiastek z $2$ dotyczy przekątnej ściany, a pierwiastek z $3$ przekątnej bryły.

$d_{\text{ściany}}=a\sqrt{2}$

$d_{\text{bryły}}=a\sqrt{3}$

Jeśli $d_{\text{bryły}}=6\sqrt{3}$ , to $a=6$ .

04WYJAŚNIENIE

Graniastosłup i ostrosłup zaczynają się od pola podstawy

W obu wzorach potrzebujesz pola podstawy. W ostrosłupie dochodzi jeszcze czynnik $\frac{1}{3}$ .

$V_{\text{graniastosłupa}}=P_{p}\cdot H$

$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$

Dla ostrosłupa z $P_p=36$ i $H=12$ mamy $V=144$ .

05WYJAŚNIENIE

Walec: najpierw średnica na promień

W walcu objętość zależy od $r^2$ . Jeśli podana jest średnica, najpierw znajdź promień.

Walec ze średnicą 10, promieniem 5, wysokością 8 i wzorem na objętość.

Dane: średnica walca $d=10$ , wysokość $h=8$ .

$V=\pi r^{2}\cdot h$

$r=\frac{10}{2}=5$

$V=\pi\cdot5^2\cdot8=200\pi$

06WYJAŚNIENIE

Stożek: tworząca z Pitagorasa

W stożku prostym promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny.

Stożek z trójkątem prostokątnym utworzonym przez promień, wysokość i tworzącą.

Dla $r=6$ i $h=8$ dostajemy $l=10$ , zatem pole boczne wynosi $P_b=\pi\cdot6\cdot10=60\pi$ .

$l^2=r^2+h^2$

$l^2=6^2+8^2=100$

$l=10$

$P_b=\pi rl$

07WYJAŚNIENIE

Podobieństwo może zastąpić ponowne liczenie

Jeśli znasz objętość jednej bryły i skalę podobieństwa, często nie trzeba obliczać wszystkich wymiarów drugiej bryły. W przykładzie walce są podobne, mają promienie $3$ i $6$ , a objętość pierwszego to $45\pi$ . To założenie o podobieństwie jest konieczne: same promienie nie określają stosunku objętości.

Promienie walców $3$ i $6$ dają $k=2$ .

$V_2=45\pi\cdot2^3=360\pi$

Wskazówka

Jeśli znasz już pole albo objętość jednej bryły, sprawdź najpierw, czy wystarczy użyć $k^2$ albo $k^3$ .

08WYJAŚNIENIE

Jednostki potrafią zmienić całe zadanie

Prostopadłościan ma wymiary dwa metry, pięćdziesiąt centymetrów i czterdzieści centymetrów. Obliczymy objętość w metrach sześciennych, więc najpierw sprowadzimy wszystkie długości do metrów.

$50\ \text{cm}=0{,}5\ \text{m}$

$40\ \text{cm}=0{,}4\ \text{m}$

$V=2\cdot0{,}5\cdot0{,}4=0{,}4\ \text{m}^3$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Przekątna prostopadłościanu

Prostopadłościan ma wymiary $3$ , $4$ , $12$ . Jego przekątna ma długość:

$7$

$12$

$13$

$19$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$13$

$d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ .

PYTANIE 02

Objętość ostrosłupa

Ostrosłup ma pole podstawy $30\ \text{cm}^2$ i wysokość $9\ \text{cm}$ . Jego objętość wynosi:

$90\ \text{cm}^3$

$270\ \text{cm}^3$

$810\ \text{cm}^3$

$10\ \text{cm}^3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$90\ \text{cm}^3$

$V=\frac{1}{3}\cdot30\cdot9=90\ \text{cm}^3$ .

PYTANIE 03

Objętość walca

Walec ma średnicę $12\ \text{cm}$ i wysokość $5\ \text{cm}$ . Jego objętość wynosi:

$60\pi\ \text{cm}^3$

$180\pi\ \text{cm}^3$

$360\pi\ \text{cm}^3$

$720\pi\ \text{cm}^3$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$180\pi\ \text{cm}^3$

Promień wynosi $6\ \text{cm}$ , więc $V=\pi\cdot6^2\cdot5=180\pi\ \text{cm}^3$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

W zadaniu mieszanym najpierw rozpoznaj bryłę i brakującą długość. Potem wybierz właściwy wzór, użyj Pitagorasa albo podobieństwa i dopilnuj jednostek.

Zapamiętaj

$d=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$

$V=\pi r^{2}\cdot h$

$l^2=r^2+h^2$

$P:\ k^2,\quad V:\ k^3$