Skala podobieństwa brył

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Przeniesiesz podobieństwo z figur płaskich na bryły. Nauczysz się wskazywać odpowiadające długości i liczyć skalę podobieństwa, żeby wyznaczać brakujące wymiary.

Na start

Wszystkie odpowiadające długości zmieniają się w tej samej skali.

Krawędź porównujesz z krawędzią, promień z promieniem, wysokość z wysokością.

$k=\frac{\text{druga długość}}{\text{pierwsza długość}}$

Po tej lekcji:

rozpoznasz bryły podobne
wyznaczysz skalę z odpowiadających długości
obliczysz brakujące krawędzie, promienie, wysokości i przekątne

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Bryły podobne mają ten sam kształt

Jedna bryła może być powiększoną albo pomniejszoną kopią drugiej. Dwa sześciany są zawsze podobne, bo różnią się tylko długością krawędzi.

Dwa podobne sześciany z odpowiadającymi krawędziami 3 cm i 9 cm oraz skalą 3.

Na przykład sześciany o krawędziach $3\text{ cm}$ i $9\text{ cm}$ mają skalę od pierwszego do drugiego równą $3$ .

$k=\frac{9}{3}=3$

Większy sześcian jest trzykrotnym powiększeniem mniejszego.

02WYJAŚNIENIE

Skala to iloraz odpowiadających długości

Bierzesz długość w drugiej bryle i dzielisz przez odpowiadającą długość w pierwszej. Skala nie ma jednostki.

$k=\frac{\text{długość w drugiej bryle}}{\text{odpowiadająca długość w pierwszej bryle}}$

Dla wysokości walców $8\ \text{cm}$ i $20\ \text{cm}$ mamy $k=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$ .

Wskazówka

Nie dziel przypadkowych długości. Promień porównuj z promieniem, wysokość z wysokością.

03WYJAŚNIENIE

Promień też zmienia się w skali $k$

W podobnych walcach ta sama skala działa na wysokości i promienie. Jeśli skalę wyznaczysz z wysokości, możesz nią pomnożyć promień.

Dwa podobne walce z wysokościami 6 cm i 15 cm oraz promieniami 4 cm i r.

Dane przykładu: wysokości wynoszą $6\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$ , a promień pierwszego walca $4\text{ cm}$ . Walce są podobne; sama znajomość wysokości nie gwarantowałaby podobieństwa.

$k=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

$r_2=4\cdot\frac{5}{2}=10\ \text{cm}$

04WYJAŚNIENIE

Średnica i promień dają tę samą skalę

Promień i średnica są długościami, ale nie są tym samym rodzajem długości. Przed porównaniem trzeba sprowadzić dane do promieni albo do średnic.

$d=2r$

Jeśli pierwsza kula ma średnicę $10\ \text{cm}$ , to jej promień wynosi $5\ \text{cm}$ .

Przy promieniu drugiej kuli $15\ \text{cm}$ skala wynosi $k=\frac{15}{5}=3$ .

Wskazówka

Nie licz skali z promienia i średnicy bez zamiany. To częsty błąd w zadaniach.

05WYJAŚNIENIE

W stożkach skala działa na $r$ , $h$ i $l$

W podobnych stożkach promień podstawy, wysokość i tworząca zmieniają się w tej samej skali.

Dwa podobne stożki z promieniem, wysokością i tworzącą pomnożonymi przez 2.

$r_2=2r_1$

$h_2=2h_1$

$l_2=2l_1$

06WYJAŚNIENIE

Prostopadłościany muszą zachować proporcje

Nie wystarczy, że drugi prostopadłościan jest większy. Wszystkie trzy odpowiadające wymiary muszą mieć ten sam iloraz.

$2\times3\times5\to4\times6\times10$

$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=2$

$2\times3\times5\to4\times6\times12$

$\frac{12}{5}\neq2$

Zapamiętaj

Podobieństwo wymaga jednej wspólnej skali dla wszystkich odpowiadających długości.

07WYJAŚNIENIE

Przekątne też zmieniają się w skali $k$

Skala podobieństwa dotyczy każdej długości w bryle, także przekątnych ścian i przekątnych całej bryły.

Jeśli $k=4$ i przekątna mniejszego sześcianu ma $3\sqrt{3}$ , to przekątna większego ma $12\sqrt{3}$ .

Wskazówka

Do przekątnej nie używaj potęg skali. Przekątna jest długością, więc zmienia się jak $k$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Skala z krawędzi

Dwie podobne bryły mają odpowiadające krawędzie $6\ \text{cm}$ i $15\ \text{cm}$ . Skala z pierwszej bryły do drugiej wynosi:

$\frac{2}{5}$

$\frac{5}{2}$

$9$

$21$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$\frac{5}{2}$

$k=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$ .

PYTANIE 02

Promień w skali

Dwa podobne walce są w skali $k=3$ . Promień mniejszego wynosi $4\ \text{cm}$ . Promień większego wynosi:

$7\ \text{cm}$

$8\ \text{cm}$

$12\ \text{cm}$

$36\ \text{cm}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$12\ \text{cm}$

Promień jest długością, więc $4\cdot3=12\ \text{cm}$ .

PYTANIE 03

Promień i średnica

Pierwsza kula ma średnicę $8\ \text{cm}$ , druga promień $12\ \text{cm}$ . Skala z pierwszej do drugiej wynosi:

$\frac{3}{2}$

$2$

$3$

$6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$3$

Promień pierwszej kuli to $4\ \text{cm}$ , więc $k=\frac{12}{4}=3$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Bryły podobne mają ten sam kształt. Wszystkie odpowiadające długości: krawędzie, wysokości, promienie, średnice, tworzące i przekątne, zmieniają się w jednej skali.

Zapamiętaj

$k=\frac{l_2}{l_1}$

Skala nie ma jednostki.

Wszystkie odpowiadające wymiary muszą dawać ten sam iloraz.

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Bryły podobne mają ten sam kształt

Skala to iloraz odpowiadających długości

Promień też zmienia się w skali kkk

Średnica i promień dają tę samą skalę

W stożkach skala działa na rrr, hhh i lll

Prostopadłościany muszą zachować proporcje

Przekątne też zmieniają się w skali kkk

Teraz Twoja kolej

Skala z krawędzi

Promień w skali

Promień i średnica

Podsumowanie

Promień też zmienia się w skali $k$

W stożkach skala działa na $r$ , $h$ i $l$

Przekątne też zmieniają się w skali $k$