Pole powierzchni ostrosłupa

ZANIM ZACZNIESZ

Co zrobisz w tej lekcji?

W tej lekcji rozłożysz powierzchnię ostrosłupa na jedną podstawę i trójkątne ściany boczne. Nauczysz się liczyć pole całkowite bez mylenia wysokości bryły z wysokością ściany bocznej.

Na start

Pole całkowite to pole podstawy plus pole boczne.

W ostrosłupie podstawy nie mnożysz przez $2$ .

Do pola ściany bocznej potrzebna jest wysokość tej ściany.

Po tej lekcji:

Uczeń oblicza pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Pole całkowite to podstawa i ściany boczne

Powierzchnia ostrosłupa składa się z jednej podstawy i ścian bocznych. Pole boczne jest sumą pól tych trójkątnych ścian.

Siatka ostrosłupa czworokątnego: jedna podstawa i cztery trójkątne ściany boczne.

$P_c=P_p+P_b$

$P_p$ to pole podstawy.

$P_b$ to suma pól ścian bocznych.

Wskazówka

Wzór $P_c=2P_p+P_b$ dotyczy graniastosłupa, nie ostrosłupa.

02WYJAŚNIENIE

Ściana boczna jest trójkątem

Do pola pojedynczej ściany bocznej używasz wzoru na pole trójkąta. Podstawą trójkąta jest bok podstawy ostrosłupa, a wysokością jest wysokość ściany bocznej.

Trójkątna ściana boczna z podstawą a i wysokością l.

$P_{\triangle}=\frac{1}{2}al$

$a$ to bok ściany bocznej leżący w podstawie ostrosłupa.

$l$ to wysokość ściany bocznej, nie wysokość całej bryły.

03WYJAŚNIENIE

Ostrosłup prawidłowy daje krótszy wzór

W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są jednakowymi trójkątami. Ich łączne pole można policzyć z obwodu podstawy i wspólnej wysokości ściany bocznej. W przykładzie podstawa jest kwadratem o boku $6$ , dlatego jej obwód to $4\cdot6=24$ .

$P_b=\frac{1}{2}Obw_p\cdot l$

$P_c=P_p+\frac{1}{2}Obw_p\cdot l$

Dla boku podstawy $6$ i wysokości ściany $5$ mamy $P_b=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5=60$ .

04WYJAŚNIENIE

Pełne pole ostrosłupa czworokątnego

Dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego najpierw liczysz pole kwadratowej podstawy, potem pole boczne. Na końcu dodajesz oba wyniki.

$a=8,\quad l=5$

$P_p=8^2=64$

$P_b=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 5=80$

$P_c=64+80=144$

05WYJAŚNIENIE

Gdy znasz wysokość bryły, ale nie ściany

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość bryły, odcinek od środka podstawy do środka boku i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny.

Trójkąt prostokątny SOM z wysokością bryły H, odcinkiem a/2 i wysokością ściany l.

$l^2=H^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$

Dla $a=6$ i $H=4$ mamy $l^2=4^2+3^2=25$ , więc $l=5$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pole podstawy ostrosłupa wynosi $36$ , a pole powierzchni bocznej $50$ . Ile wynosi pole całkowite?

$14$

$68$

$86$

$122$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$86$

$P_c=P_p+P_b=36+50=86$ .

PYTANIE 02

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy $4$ i wysokość ściany bocznej $5$ . Ile wynosi pole całkowite?

$40$

$48$

$56$

$80$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$56$

Pole podstawy to $4^2=16$ . Pole boczne wynosi $\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 5=40$ . Razem $P_c=56$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy

Pole powierzchni ostrosłupa liczysz ze wzoru $P_c=P_p+P_b$ . Pole boczne jest sumą pól trójkątnych ścian bocznych. W ostrosłupie prawidłowym możesz użyć wzoru $P_b=\frac{1}{2}Obw_p\cdot l$ , gdzie $l$ jest wysokością ściany bocznej.