Objętość ostrosłupa

ZANIM ZACZNIESZ

Co zrobisz w tej lekcji?

W tej lekcji policzysz objętość ostrosłupa. Najpierw zobaczysz, skąd bierze się współczynnik jedna trzecia, potem użyjesz wzoru dla różnych podstaw i przekształcisz go, gdy szukana jest wysokość.

Na start

Do objętości potrzebujesz pola podstawy i wysokości bryły.

We wzorze zawsze pojawia się $\frac{1}{3}$ .

Wynik objętości podajesz w jednostkach sześciennych.

Po tej lekcji:

Uczeń oblicza objętość ostrosłupa i wyznacza brakujące wielkości ze wzoru.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Ostrosłup ma jedną trzecią objętości graniastosłupa

Jeśli graniastosłup i ostrosłup mają takie samo pole podstawy oraz taką samą wysokość, ostrosłup ma trzy razy mniejszą objętość.

Porównanie graniastosłupa i ostrosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

$V_{\text{graniastosłupa}}=P_{p}\cdot H$

$V_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$

Wskazówka

Wzór $V=P_{p}\cdot H$ jest wzorem na graniastosłup, nie na ostrosłup.

02WYJAŚNIENIE

Podstawowy schemat

Kształt podstawy decyduje tylko o tym, jak policzysz $P_p$ . Wysokość we wzorze to wysokość całej bryły.

$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$

Rozpoznaj figurę w podstawie.

Policz jej pole $P_p$ .

Podstaw wysokość bryły $H$ .

03WYJAŚNIENIE

Podstawa kwadratowa

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym podstawa jest kwadratem, więc najpierw liczysz pole kwadratu.

$a=6,\quad H=10$

$P_p=6^2=36$

$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 10=120$

Wskazówka

Jeśli jeden czynnik dzieli się przez $3$ , skróć przed mnożeniem.

04WYJAŚNIENIE

Podstawa trójkątna ma własną wysokość

Gdy podstawą jest trójkąt, pojawiają się dwie wysokości: wysokość trójkąta w podstawie i wysokość całego ostrosłupa.

Ostrosłup trójkątny z wysokością podstawy h i wysokością bryły H.

Dane przykładu: bok trójkąta w podstawie ma $a=8$ , odpowiadająca mu wysokość $h=6$ , a wysokość całej bryły $H=9$ .

$P_p=\frac{1}{2}ah$

$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$

$P_p=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24$

$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=72$

Wskazówka

Do objętości podstawiasz wysokość bryły $H$ , nie wysokość ściany bocznej.

05WYJAŚNIENIE

Gdy trzeba obliczyć wysokość

Jeśli znasz objętość i pole podstawy, ten sam wzór pozwala wyznaczyć wysokość. Najpierw usuń współczynnik jedna trzecia. W przykładzie przyjmujemy $V=80$ i $P_p=20$ , w zgodnych jednostkach.

$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$

$3V=P_{p}\cdot H$

$H=\frac{3V}{P_p}$

$H=\frac{3\cdot 80}{20}=12$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Pole podstawy ostrosłupa wynosi $18$ , a wysokość $10$ . Ile wynosi objętość?

$60$

$90$

$180$

$540$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$60$

$V=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 10=60$ .

PYTANIE 02