Kąty w ostrosłupach

ZANIM ZACZNIESZ

Co zrobisz w tej lekcji?

W tej lekcji zamienisz kąt przestrzenny na kąt w konkretnym trójkącie prostokątnym. Rozróżnisz kąt krawędzi bocznej z podstawą i kąt ściany bocznej z podstawą, a potem dobierzesz sinus, cosinus albo tangens.

Na start

Kąt krawędzi z podstawą leży w trójkącie $SAO$ .

Kąt ściany z podstawą leży w trójkącie $SOM$ .

Najpierw wybierz trójkąt, potem licz.

Po tej lekcji:

Uczeń rozpoznaje trójkąty prostokątne używane przy kątach w ostrosłupie.

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kąt między krawędzią boczną a podstawą

Dla krawędzi bocznej $SA$ jej rzutem na podstawę jest odcinek $AO$ . Kąt między krawędzią a podstawą jest więc kątem między $SA$ i $AO$ .

Trójkąt SAO z kątem alpha między krawędzią boczną a podstawą.

Punkt $S$ jest wierzchołkiem bryły, $O$ spodkiem jej wysokości, a $A$ wierzchołkiem podstawy. W dalszych przykładach rozważamy ostrosłup prawidłowy czworokątny o boku podstawy $a$ .

$\alpha=\angle SAO$

$SO\perp AO$

Trójkąt $SAO$ jest prostokątny w punkcie $O$ .

Wskazówka

Nie bierz dowolnego boku podstawy. Potrzebny jest rzut krawędzi bocznej na podstawę.

02WYJAŚNIENIE

Funkcje trygonometryczne w trójkącie SAO

Dla kąta $\alpha$ przy punkcie $A$ bok $SO$ leży naprzeciw kąta, $AO$ jest przy kącie, a $SA$ jest przeciwprostokątną.

$\sin\alpha=\frac{SO}{SA}$

$\cos\alpha=\frac{AO}{SA}$

$\tan\alpha=\frac{SO}{AO}$

Dla $SO=6$ i $AO=8$ mamy $\tan\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ .

03WYJAŚNIENIE

Od środka kwadratu do wierzchołka

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym punkt $O$ jest środkiem kwadratu. Odcinek $AO$ jest połową przekątnej podstawy.

Kwadrat z przekątnymi i wyróżnionym odcinkiem AO jako połową przekątnej.

$d=a\sqrt{2}$

$AO=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Dla $a=6$ otrzymujemy $AO=3\sqrt{2}$ .

04WYJAŚNIENIE

Kąt między ścianą boczną a podstawą

Dla kąta między ścianą boczną a podstawą bierzemy wysokość ściany bocznej $SM$ i odcinek $OM$ leżący w podstawie.

Trójkąt SOM z kątem beta między ścianą boczną a podstawą.

Punkt $M$ jest środkiem boku podstawy. Zarówno $SM$ , jak i $OM$ są prostopadłe do tego samego boku. Dlatego kąt $SMO$ mierzy kąt ściany z podstawą. Równość $OM=a/2$ wykorzystuje kwadratową podstawę i jej środek $O$ .

$\beta=\angle SMO$

$OM=\frac{a}{2}$

$\tan\beta=\frac{SO}{OM}$

05WYJAŚNIENIE

Dwa kąty, dwa trójkąty

Podobne sformułowania prowadzą do różnych trójkątów. Krawędź boczna z podstawą używa odcinka $AO$ , a ściana boczna z podstawą używa odcinka $OM$ .

Dwa ostrosłupy z kątem krawędzi SAO i kątem ściany SMO zaznaczonymi łukami; O to środek podstawy, M to środek jej krawędzi.

Zapamiętaj

Krawędź z podstawą: $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Ściana z podstawą: $OM=\frac{a}{2}$ .

06WYJAŚNIENIE

Z trójkąta można też policzyć krawędź

Ten sam trójkąt $SAO$ pozwala obliczyć długość krawędzi bocznej, jeśli znasz wysokość bryły i odległość środka podstawy od wierzchołka podstawy.

$a=6\sqrt{2},\quad H=8$

$AO=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=6$

$SA^2=8^2+6^2=100$

$SA=10$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO=3$ , $AO=4$ , a $\alpha$ jest kątem między krawędzią boczną a podstawą. Ile wynosi $\tan\alpha$ ?

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{4}{5}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$\frac{3}{4}$

W trójkącie $SAO$ bok naprzeciw kąta to $SO=3$ , a bok przy kącie to $AO=4$ . Dlatego $\tan\alpha=\frac{3}{4}$ .

PYTANIE 02

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy $8$ . Ile wynosi odległość środka podstawy od środka jej boku?

$2$

$4$

$4\sqrt{2}$

$8\sqrt{2}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$4$

Odległość środka kwadratu od środka boku to połowa boku, więc $OM=\frac{8}{2}=4$ .

PYTANIE 03

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO=5$ i $AO=12$ . Ile wynosi krawędź boczna $SA$ ?

$7$

$13$

$17$

$60$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$13$

Trójkąt $SAO$ jest prostokątny, więc $SA^2=5^2+12^2=169$ . Zatem $SA=13$ .

NA KONIEC

Najważniejsze rzeczy

Przy kątach w ostrosłupie najpierw wybierasz trójkąt prostokątny. Kąt między krawędzią boczną a podstawą leży w trójkącie $SAO$ , gdzie $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Kąt między ścianą boczną a podstawą leży w trójkącie $SOM$ , gdzie $OM=\frac{a}{2}$ . Potem używasz Pitagorasa albo funkcji trygonometrycznych.

Co zrobisz w tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Kąt między krawędzią boczną a podstawą

Funkcje trygonometryczne w trójkącie SAO

Od środka kwadratu do wierzchołka

Kąt między ścianą boczną a podstawą

Dwa kąty, dwa trójkąty

Z trójkąta można też policzyć krawędź

Teraz Twoja kolej

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym SO=3SO=3SO=3, AO=4AO=4AO=4, a α\alphaα jest kątem między krawędzią boczną a podstawą. Ile wynosi tan⁡α\tan\alphatanα?

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy 888. Ile wynosi odległość środka podstawy od środka jej boku?

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym SO=5SO=5SO=5 i AO=12AO=12AO=12. Ile wynosi krawędź boczna SASASA?

Najważniejsze rzeczy

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO=3$ , $AO=4$ , a $\alpha$ jest kątem między krawędzią boczną a podstawą. Ile wynosi $\tan\alpha$ ?

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy $8$ . Ile wynosi odległość środka podstawy od środka jej boku?

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $SO=5$ i $AO=12$ . Ile wynosi krawędź boczna $SA$ ?