Odczytywanie środka i promienia okręgu - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się szybko odczytywać środek i promień z równania okręgu. Najważniejsze będą znaki w nawiasach oraz to, że po prawej stronie stoi kwadrat promienia.

Plan tej lekcji

Odczytasz środek z postaci kanonicznej.

Przećwiczysz plusy i minusy w nawiasach.

Zamienisz prawą stronę równania na promień.

Sprawdzisz, czy zapis naprawdę opisuje okrąg.

Na start

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek to $S=(a,b)$ , a promień to $r$ .

Po tej lekcji:

odczytuje środek okręgu z nawiasów
odczytuje promień z prawej strony równania
rozpoznaje, kiedy równanie opisuje okrąg

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Postać, z której odczytujesz okrąg

Najwygodniejsza postać od razu pokazuje środek i promień.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Z nawiasów odczytujesz $a$ i $b$ , czyli współrzędne środka.

Z prawej strony odczytujesz $r^2$ , więc promień jest pierwiastkiem z tej liczby.

Zapamiętaj

Dla $(x-4)^2+(y-1)^2=9$ mamy $S=(4,1)$ i $r=3$ .

02WYJAŚNIENIE

Znak w nawiasie działa odwrotnie

Najczęstszy błąd to przepisanie znaku z nawiasu bez zastanowienia. We wzorze odejmujemy współrzędną środka.

$(x-5)^2 \Rightarrow a=5$

$(x+5)^2=(x-(-5))^2 \Rightarrow a=-5$

Dlatego dla $(x+2)^2+(y-7)^2=16$ środek to $S=(-2,7)$ .

Wskazówka

Plus w nawiasie przy $x$ oznacza ujemną pierwszą współrzędną środka.

03WYJAŚNIENIE

Promień to pierwiastek z prawej strony

Po prawej stronie równania okręgu nie stoi promień, tylko jego kwadrat.

$r^2=49$

$r=7$

Dla $(x-1)^2+(y+3)^2=25$ promień wynosi $5$ .

Zapamiętaj

Jeśli po prawej stronie jest $36$ , promień wynosi $6$ .

Jeśli po prawej stronie jest $10$ , promień wynosi $\sqrt{10}$ .

04WYJAŚNIENIE

Odczytywanie z równania z zerami

Jeśli przy jednej zmiennej nie ma nawiasu z przesunięciem, odpowiednia współrzędna środka wynosi zero.

$x^2=(x-0)^2$

$y^2=(y-0)^2$

Dla $x^2+(y-6)^2=4$ mamy $S=(0,6)$ i $r=2$ .

Dla $(x+3)^2+y^2=81$ mamy $S=(-3,0)$ i $r=9$ .

05WYJAŚNIENIE

Odczytywanie z rysunku

Z rysunku najpierw odczytaj środek, potem promień. Dopiero z tych danych zapisujesz równanie.

Na rysunku środek to $S=(2,-1)$ , a promień ma długość $3$ .

$(x-2)^2+(y+1)^2=9$

06WYJAŚNIENIE

Czy równanie na pewno opisuje okrąg?

W postaci kanonicznej prawa strona musi być dodatnia. Promień jest długością, więc nie może być ujemny.

Jeśli prawa strona jest większa od $0$ , równanie opisuje okrąg.

Jeśli prawa strona jest równa $0$ , zostaje jeden punkt.

Jeśli prawa strona jest ujemna, nie ma takiego okręgu.

Wskazówka

Dla $(x-1)^2+(y+2)^2=16$ promień wynosi $4$ , nie $-4$ .

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie 1

Środek okręgu $(x-3)^2+(y+4)^2=25$ to:

$(3,4)$

$(-3,4)$

$(3,-4)$

$(-3,-4)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$(3,-4)$

$(x-3)^2$ daje $a=3$ , a $(y+4)^2$ daje $b=-4$ .

PYTANIE 02

Zadanie 2

Promień okręgu $(x+1)^2+(y-2)^2=49$ wynosi:

$49$

$7$

$-7$

$\sqrt{49^2}$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$7$

Prawa strona to $r^2=49$ , więc $r=7$ .

PYTANIE 03

Zadanie 3

Równanie okręgu o środku $(-5,0)$ i promieniu $2$ to:

$(x-5)^2+y^2=4$

$(x+5)^2+y^2=4$

$(x+5)^2+y^2=2$

$x^2+(y+5)^2=4$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(x+5)^2+y^2=4$

Środek $(-5,0)$ daje $(x+5)^2+y^2$ , a $2^2=4$ .

PYTANIE 04

Zadanie 4

Okrąg $x^2+(y+6)^2=36$ ma środek:

$(0,6)$

$(0,-6)$

$(6,0)$

$(-6,0)$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$(0,-6)$

$x^2=(x-0)^2$ , a $(y+6)^2=(y-(-6))^2$ , więc środek to $(0,-6)$ .

NA KONIEC

Podsumowanie

Zapamiętaj

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Środek to $S=(a,b)$ .

Promień to $r=\sqrt{\text{prawa strona}}$ .

$(x+4)^2=(x-(-4))^2$

Jeśli widzisz $x^2$ , traktuj je jak $(x-0)^2$ .