Równanie okręgu - wyjaśnienie i zadania

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

W tej lekcji nauczysz się czytać równanie okręgu jako informację o środku i promieniu. Będziesz też sprawdzać, czy punkt leży na okręgu, wewnątrz niego albo poza nim.

Plan tej lekcji

Najpierw odróżnisz okrąg od koła.

Potem zobaczysz, skąd bierze się równanie $x^2+y^2=r^2$ .

Następnie zapiszesz równanie okręgu przesuniętego w układzie współrzędnych.

Na końcu przećwiczysz podstawianie współrzędnych punktu do równania.

Na start

Okrąg to wszystkie punkty w tej samej odległości od środka.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Po tej lekcji:

rozróżnia okrąg i koło
zapisuje równanie okręgu o danym środku i promieniu
sprawdza położenie punktu względem okręgu

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Okrąg to brzeg, koło to wnętrze z brzegiem

Okrąg składa się tylko z punktów leżących w ustalonej odległości od środka. Koło zawiera cały obszar wewnątrz oraz sam brzeg.

Zapamiętaj

W równaniu okręgu opisujemy brzeg, nie całe koło.

02WYJAŚNIENIE

Okrąg o środku w początku układu

Jeśli środek okręgu jest w punkcie $(0,0)$ , to punkt $(x,y)$ leży na okręgu dokładnie wtedy, gdy jego odległość od początku układu wynosi $r$ .

Ilustracja: okrag srodek poczatek ukladu

$x^2+y^2=r^2$

Dla promienia $5$ dostajemy $x^2+y^2=25$ .

03WYJAŚNIENIE

Skąd bierze się równanie okręgu?

Równanie okręgu jest zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa do odległości punktu od środka.

Dla punktu $P=(x,y)$ odcinki poziomy i pionowy mają długości $|x|$ oraz $|y|$ .

Promień jest przeciwprostokątną, więc $x^2+y^2=r^2$ .

Wskazówka

W równaniu znaki przy $x$ i $y$ znikają po podniesieniu do kwadratu.

04WYJAŚNIENIE

Okrąg o dowolnym środku

Gdy środek ma współrzędne $S=(a,b)$ , od punktu $(x,y)$ odejmujemy współrzędne środka.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Pierwszy nawias mierzy poziomą różnicę od środka, a drugi pionową różnicę od środka.

Po prawej stronie zawsze stoi kwadrat promienia.

05WYJAŚNIENIE

Równanie okręgu jako odległość od środka

Dla środka $S=(2,-1)$ i promienia $3$ każdy punkt okręgu jest oddalony od środka dokładnie o $3$ .

Ilustracja: odleglosc punktu od srodka okregu

$(x-2)^2+(y+1)^2=9$

Zapis $y+1$ oznacza $y-(-1)$ .

06WYJAŚNIENIE

Sprawdzanie punktu dla okręgu przesuniętego

Żeby sprawdzić punkt, podstawiasz jego współrzędne do lewej strony równania i porównujesz wynik z prawą stroną.

Dla okręgu $(x-2)^2+(y+1)^2=9$ sprawdźmy punkt $(5,-1)$ .

$(5-2)^2+(-1+1)^2=3^2+0^2=9$

Wynik jest równy prawej stronie, więc punkt leży na okręgu.

07WYJAŚNIENIE

Punkt wewnątrz, na zewnątrz i na okręgu

Po podstawieniu punktu do lewej strony równania porównujesz wynik z $r^2$ . To mówi, gdzie leży punkt.

Wynik równy $r^2$ oznacza punkt na okręgu.

Wynik mniejszy od $r^2$ oznacza punkt wewnątrz.

Wynik większy od $r^2$ oznacza punkt na zewnątrz.

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Zadanie 1

Równanie okręgu o środku $(0,0)$ i promieniu $6$ to:

$x^2+y^2=6$

$x^2+y^2=36$

$(x-6)^2+y^2=36$

$x+y=6$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$x^2+y^2=36$

Dla środka w początku układu mamy $x^2+y^2=r^2$ . Ponieważ $6^2=36$ , poprawna odpowiedź to B.

PYTANIE 02

Zadanie 2

Równanie okręgu o środku $(3,-2)$ i promieniu $5$ to:

$(x-3)^2+(y+2)^2=25$

$(x+3)^2+(y-2)^2=25$

$(x-3)^2+(y-2)^2=5$

$(x+3)^2+(y+2)^2=25$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: A

$(x-3)^2+(y+2)^2=25$

Środek $(3,-2)$ daje nawiasy $(x-3)^2$ oraz $(y+2)^2$ , a $5^2=25$ .

PYTANIE 03

Zadanie 3

Punkt $(3,4)$ leży na okręgu $x^2+y^2=25$ , ponieważ:

$3+4=7$

$3^2+4^2=25$

$3^2-4^2=25$

$3\cdot4=12$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$3^2+4^2=25$

Po podstawieniu dostajemy $9+16=25$ , więc punkt spełnia równanie okręgu.

PYTANIE 04

Zadanie 4

Punkt $(1,1)$ względem okręgu $x^2+y^2=9$ leży:

na okręgu

wewnątrz okręgu

na zewnątrz okręgu

nie da się określić

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

wewnątrz okręgu

$1^2+1^2=2$ , a $2<9$ , więc punkt leży wewnątrz okręgu.

NA KONIEC

Podsumowanie

Zapamiętaj

Okrąg to zbiór punktów w tej samej odległości od środka.

Dla środka w początku układu: $x^2+y^2=r^2$

Dla środka $S=(a,b)$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Po podstawieniu punktu wynik porównujesz z $r^2$ .