Kąty środkowe i wpisane

ZANIM ZACZNIESZ

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Nauczysz się rozpoznawać kąty środkowe i wpisane. Potem użyjesz najważniejszej zależności: kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy.

Na start

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu.

Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu.

$\beta=\frac{\alpha}{2}$

Po tej lekcji:

rozpoznasz kąt środkowy i wpisany
obliczysz kąt wpisany jako połowę kąta środkowego
użyjesz własności kąta opartego na średnicy

ZROZUM TEMAT

Wyjaśnienie krok po kroku

Każdy kolejny krok rozwija poprzedni. Po przykładach spróbuj rozwiązać pytania samodzielnie.

01WYJAŚNIENIE

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a jego ramiona są promieniami.

Kąt środkowy AOB oparty na wyróżnionym łuku AB.

$\angle AOB=\alpha$

02WYJAŚNIENIE

Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu

Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona przechodzą przez dwa inne punkty okręgu.

Łuk, na którym opiera się kąt wpisany, łączy końce jego ramion i nie zawiera wierzchołka kąta. Same wspólne końce łuku nie wystarczą: trzeba sprawdzić, o którą część okręgu chodzi.

$\angle ACB=\beta$

Wskazówka

Żeby kąt był wpisany, jego wierzchołek musi leżeć na okręgu.

03WYJAŚNIENIE

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego

Jeśli kąt środkowy i wpisany są oparte na tym samym łuku, to kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

Kąt środkowy alfa i kąt wpisany beta oparte na tym samym łuku.

$\beta=\frac{\alpha}{2}$

$\alpha=2\beta$

Dla $\alpha=124^\circ$ kąt wpisany ma $\beta=62^\circ$ .

04WYJAŚNIENIE

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary. Nie muszą mieć tego samego wierzchołka.

Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku AB.

$\angle ACB=\angle ADB$

05WYJAŚNIENIE

Kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$

Jeśli ramiona kąta wpisanego opierają się na końcach średnicy, to kąt jest prosty.

Kąt wpisany oparty na średnicy AB ma 90 stopni.

$\angle ACB=90^\circ$

SPRAWDŹ SIĘ

Teraz Twoja kolej

Wybierz odpowiedź w myślach lub na kartce, a potem rozwiń rozwiązanie.

PYTANIE 01

Połowa kąta środkowego

Kąt środkowy ma $140^\circ$ . Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

$35^\circ$

$70^\circ$

$140^\circ$

$280^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: B

$70^\circ$

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest połową środkowego: $\frac{140^\circ}{2}=70^\circ$ .

PYTANIE 02

Dwa razy większy

Kąt wpisany ma $38^\circ$ . Ile ma kąt środkowy oparty na tym samym łuku?

$19^\circ$

$38^\circ$

$76^\circ$

$152^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$76^\circ$

Kąt środkowy jest dwa razy większy: $2\cdot38^\circ=76^\circ$ .

PYTANIE 03

Kąt oparty na średnicy

Kąt wpisany jest oparty na średnicy okręgu. Jaka jest jego miara?

$45^\circ$

$60^\circ$

$90^\circ$

$180^\circ$

Sprawdź odpowiedź

Poprawna odpowiedź: C

$90^\circ$

Każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, czyli ma $90^\circ$ .

NA KONIEC

Najważniejsze metody z kątów w okręgu

Najpierw sprawdź, gdzie leży wierzchołek kąta i na jakim łuku jest oparty. Dla tego samego łuku kąt wpisany jest połową środkowego, a kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę kąta prostego.

Zapamiętaj

$\beta=\frac{\alpha}{2}$

$\alpha=2\beta$

$\angle ACB=90^\circ\ \text{dla średnicy }AB$

Co będziesz umieć po tej lekcji?

Wyjaśnienie krok po kroku

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu

Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu

Kąt wpisany jest połową kąta środkowego

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

Kąt oparty na średnicy ma 90∘90^\circ90∘

Teraz Twoja kolej

Połowa kąta środkowego

Dwa razy większy

Kąt oparty na średnicy

Najważniejsze metody z kątów w okręgu

Kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$